Sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C^2

Partie

Question

Soit \(F\) la partie de \(\mathbb C^2\) définie par : \(F=\left\{(z_1,z_2)\in\mathbb C^2~|~z_2=\overline{z_1}\right\}\).

  1. On considère la structure de \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel de \(\mathbb C^2\). L'ensemble \(F\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathbb C^2\) ?

  2. \(\mathbb C^2\) est aussi muni d'une structure de \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel. L'ensemble \(F\) est-il alors un sous-espace vectoriel de \(\mathbb C^2\) ?

Aide détaillée

a. A quel ensemble les vecteurs manipulés appartiennent ils ?

b. Montrer que \(F\) est non vide.

c. Pour montrer que \(F\) est stable pour l'addition :

  • Prendre deux éléments quelconques de \(F\), \(v=(z_1,z_2)\) et \(v'=(z_1',z_2')\) .

  • Traduire que \(v\) et \(v'\) appartiennent à \(F\).

  • Ecrire \(v+v'\) sous forme de couple et vérifier s'il satisfait à la propriété caractéristique de \(F\).

d. Pour la stabilité pour la multiplication par un scalaire

  • Prendre un scalaire \(\lambda\)a et un couple \(v\) de \(F\) (dans le premier cas, on prend \(\lambda\) appartenant à \(\mathbb C\), et dans le second cas, \(\lambda\) appartenant à \(\mathbb R\)).

  • Traduire que \(v\) appartient à \(F\) et considérer le couple \(\lambda v\).

Aide méthodologique

\(F\) est une partie de \(\mathbb C^2\). C'est l'ensemble des couples \((z_1,z_2)\) de \(\mathbb C^2\) qui vérifient la condition \(z_2=\overline{z_1}\), (\(\overline{z_1}\) désignant le conjugué de \(z_1\)).

Dans les deux cas, pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb C^2\) on peut utiliser le théorème :

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) une partie de \(E\).

\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si :

  1. \(F\) est non vide

  2. \(F\) est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire.

Solution détaillée

a. Par définition \(F\subset\mathbb C^2\).

b. Le conjugué de \(0\) est \(0\). Le couple \((0,0)\) appartient donc à \(F\). \(F\) est donc non vide.

c. Soient \(v=(z_1,z_2)\) et \(v'=(z_1',z_2')\) deux éléments de \(F\).

On a donc \(z_2=\overline{z_1}\) et \(z_2'=\overline{z_1}'\) : \(v+v'=(z_1+z_1',z_2+z_2')\) .

On utilise la propriété suivante :

Propriété

Le conjugué de la somme de 2 nombres complexes est égal à la somme des conjugués de ces 2 nombres.

On a donc \(\overline{z_1+z_1}'=\overline{z_1}+\overline{z_1}'=z_2+z_2'\).

Le couple \(v+v'\) appartient donc à \(F\). \(F\) est stable pour l'addition.

d.

  1. On considère ici \(\mathbb C^2\) espace vectoriel sur \mathbb C.

    Soient \(\lambda\) appartenant à \(\mathbb C\) et un élément \(v\) de \(F\). \(v=(z_1,z_2)\) avec \(z_2=\overline{z_1}\).

    \(\lambda v=(\lambda z_1,\lambda z_2)\)

    \(\overline{\lambda z_1}=\overline{\lambda}\overline{z_1}=\overline{\lambda}z_2\)

    Si \(\lambda\) n'est pas réel \(\overline{\lambda}\ne\lambda\). Pour montrer que \(F\) n'est pas stable pour la multiplication par un scalaire, il suffit de donner un contre-exemple :

    \((1,1)\in F\), \(i(1,1)=(i,i)\), \(\overline{i}=-i\) le couple \((i,i)\) n'appartient donc pas à \(F\).

    \(F\) n'est donc pas stable pour la multiplication par un scalaire.

    \(F\) n'est pas un sous-espace vectoriel du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(\mathbb C^2\).

  2. On considère maintenant \(\mathbb C^2\) espace vectoriel sur \(\mathbb R\).

    Soient un réel \(\lambda\) et un élément \(v\) de \(F\). \(v=(z_1,z_2)\) avec \(z_2=\overline{z_1}\).

    \(\lambda v=(\lambda z_1,\lambda z_2)\)

    \(\overline{\lambda z_1}=\overline{\lambda}\overline{z_1}=\overline{\lambda}z_2=\lambda z_2\)

    En effet un nombre réel est égal à son conjugué. Le vecteur \(\lambda v\) appartient donc à \(F\) et \(F\) est donc stable pour la multiplication par un scalaire.

    On peut donc conclure que \(F\) est un sous-espace vectoriel du \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^2\).