Dimension du produit cartésien d'espaces vectoriels de type fini
Théorème

Soit , deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps , et et les dimensions respectives de et sur .

Alors est de type fini, et sa dimension est égale à .

Preuve

Pour prouver qu'un espace vectoriel est de type fini et déterminer sa dimension, il suffit de construire une base de cet espace. Il s'agit donc ici de construire une base de .

Soit une base de ( )

Soit une base de ( )

Tout élément de est un couple et appartiennent respectivement à et à .

Le vecteur s'écrit comme combinaison linéaire de , de même s'écrit comme combinaison linéaire de .

Il existe donc unique tel que :

C'est-à-dire, en utilisant les opérations dans  :

est donc une partie génératrice de .

Il reste à vérifier maintenant que c'est une partie libre. On considère une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs :

En utilisant les opérations dans , ceci peut s'écrire :

D'où

Donc nécessairement sont nuls car est une base de , et sont nuls car est une base de . La partie est donc libre.

On a trouvé une partie libre génératrice de , elle détermine une base de .

La dimension de est donc égale à .

Corollaire

Soient des espaces vectoriels de type fini sur un même corps , et les dimensions respectives de sur .

Alors est de type fini, et sa dimension est égale à .

Preuve

La preuve se fait par récurrence sur l'entier en utilisant la définition du produit cartésien de ensembles par récurrence, et en remarquant que :

Application

On retrouve ainsi que

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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