Propriétés d'un espace vectoriel de dimension n (n>0)

Lorsqu'un espace vectoriel est de type fini, le fait de connaître sa dimension est une information très riche ; les propriétés et théorèmes suivants montrent comment exploiter cette information.

Propriété

Soit un vectoriel de dimension non nulle, alors :

  1. Toute partie libre de a au plus éléments.

  2. Toute partie génératrice de a au moins éléments.

Preuve

L'espace vectoriel étant de dimension (non nulle), il existe une partie de ayant éléments qui détermine une base de , c'est-à-dire à la fois libre et génératrice.

  1. étant engendré par une partie ayant éléments, toute partie libre de a au maximum éléments, sinon elle est liée (conséquence du lemme).

  2. Il existe une partie libre de ayant éléments, par conséquent toute partie génératrice de a au minimum éléments (conséquence du lemme).

Théorème

Soient un -espace vectoriel de dimension non nulle, et n vecteurs de :

  1. Si est une partie libre alors est une base de .

  2. Si est une partie génératrice de alors est une base de .

    Autrement dit, lorsque le nombre de vecteurs considéré est exactement égal à la dimension de l'espace vectoriel, l'une des deux conditions : générateurs, ou linéairement indépendants suffit pour que ces vecteurs déterminent une base de .

Preuve

C'est une conséquence immédiate du théorème précédent.

Si la dimension de est égale à toute partie libre ayant exactement éléments est une  partie libre maximale donc détermine une base de .

De même, une partie génératrice de ayant éléments est une partie génératrice minimale, donc détermine une base de .

Méthode

Dans le cas où la dimension de l'espace vectoriel est connue, si on considère une famille de vecteurs , la comparaison des entiers et donne :

  • si , on est sûr que la famille est liée, en revanche on ne sait pas si elle engendre ou non l'espace .

  • si , on est sûr que la famille n'est pas génératrice de , en revanche on ne sait pas si elle est libre ou liée.

  • si , il n'y a pas d'information a priori sur le caractère libre ou non, générateur ou non de .

En revanche, pour démontrer que ces vecteurs déterminent une base de , il suffit de prouver que est une partie libre ou bien que engendre (dans la pratique il est souvent plus simple de prouver qu'elle est libre).

Exemple

Dans un espace vectoriel de dimension , tout vecteur non nul détermine une base de ; en effet, est une partie libre de ayant élément. Précédent

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