Exemple - Méthodologie

Soient et les sous-espaces vectoriels de suivants :

et

et

On veut montrer que

On remarque que les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc est de dimension , et de plus ils appartiennent à , donc est contenu dans .

Pour trouver la dimension de , on pourrait déterminer une base de , on montrerait alors que la dimension de est .

Mais il est plus judicieux ici de remarquer que est contenu strictement dans (par exemple : le vecteur de n'est pas dans ), donc la dimension de est strictement inférieure à ; mais puisque contient , la dimension de est supérieure ou égale à , donc la dimension de ne peut être que .

On a donc démontré que est contenu dans et que et ont la même dimension ; ceci entraîne que est égal à .

Méthode

Pour démontrer que deux sous-espaces vectoriels de type fini sont égaux, il suffit de montrer que l'un est contenu dans l'autre et qu'ils ont même dimension.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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