Espace vectoriel de type fini

Soient \(F_1, F_2, ..., F_n\) des sous-espaces vectoriels de type fini d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), alors la somme \(F_1, F_2, ..., F_n\) est un sous-espace vectoriel de type fini de \(E\) et sa dimension est inférieure ou égale à la somme des dimensions de \(F_1, F_2, ..., F_n\).

De plus, la dimension de \(F_1, F_2, ..., F_n\) est égale à la somme des dimensions de \(F_1, F_2, ..., F_n\) si et seulement si la somme \(F_1, F_2, ..., F_n\) est directe.

\(\begin{array}{c}[\forall p \in \mathbb N, 1 \le p \le n, F_p \textrm{ est un sous-espace vectoriel de type fini de }E]\\\Downarrow\\{\left[\begin{array}{c c c} F_1, F_2, ..., F_n \textrm{ est un sous-espace vectoriel de type fini de }E\\ \textrm{dim}(F_1 +F_2 + ... + F_n) \le \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim}F_2 + ... + \mathrm{dim} F_n\end{array}\right]}\end{array}\)

et

\(\begin{array}{c}\mathrm{dim} (F_1 + F_2 + ... + F_n) = \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim}F_2 + ... + \mathrm{dim}F_n\\\Updownarrow\\F_1 + F_2 + ... + F_n = F_1 \oplus F_2 \oplus ... \oplus F_n\end{array}\)

Pour tout entier \(k\), \(k \ge 2\), soit \((P_k)\) la proposition suivante :

• Soient \(F_1, F_2, ... , F_k\), \(k\) sous-espaces vectoriels de type fini d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), alors la somme \(F_1, F_2, ... , F_k\) est un sous-espace vectoriel de type fini de \(E\) et sa dimension est inférieure ou égale à la somme des dimensions de\( F_1, F_2, ... , F_k\).

• De plus, la dimension de \(F_1, F_2, ... , F_k\) est égale à la somme des dimensions de \(F_1, F_2, ... , F_k\) si et seulement si la somme \(F_1, F_2, ... , F_k\) est directe.

La proposition \((P_2)\) est vraie (voir somme de deux sous-espaces de type fini).

On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie et on démontre que la proposition \((P_{k+1})\) est vraie :

Soient \(F_1, F_2, ..., F_{K+1}\) \(k+1\)sous-espaces vectoriels de type fini du \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\).

Alors \(F_1 +F_2+ ...+ F_{K+1} = (F_1 + F_2 + ... + F_k) + F_{k+1}\) (voir la ressource "somme, somme directe").

On appelle \(G\) le sous-espace \(F_1+ F_2+ ...+ F_{K}\); le sous-espace G est de type fini, d'après l'hypothèse de récurrence \((P_k)\), et \(\mathrm{dim} G \le \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim} F_2 + ... + \mathrm{dim} F_k\).

D'autre part \(G + F_{k+1}\) est de type fini comme somme de deux sous-espaces de type fini et \(\mathrm{dim}(G + F_{k+1}) \le \mathrm{dim}G + \mathrm{dim} F_{k+1}\).

Donc on a montré que \(\mathrm{dim}(F_1 + F_2 + ... + F_{k+1}) \le \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim}F_2 + ... + \mathrm{dim} F_{k+1}\).

Ensuite on suppose que la somme \(F_1 + F_2 + ... + F_{k+1}\) est directe.

On sait que \(F_1 \oplus F_2 \oplus ... \oplus F_{k+1} = (F_1 \oplus F_2 \oplus ... \oplus F_k) \oplus F_{k+1}\) (voir la ressource "somme, somme directe").

On appelle encore \(G\) le sous-espace \(F_1 \oplus F_2 \oplus ... \oplus F_{k}\).

D'après l'hypothèse de récurrence \((P_k\)), \(\mathrm{dim} G = \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim} F_2 + ... + \mathrm{dim} F_k\),

mais on a aussi \(\mathrm{dim}(G \oplus F_{k+1}) = \mathrm{dim}G + \mathrm{dim} F_{k+1}\).

Donc \(\mathrm{dim}(F_1 \oplus F_2 \oplus ... \oplus F_{k+1}) = \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim} F_2 + ... + \mathrm{dim}F_{k+1}\)

Réciproquement, on suppose que

(*) \(\mathrm{dim} (F_1 + F_2 + ... + F_{k+1}) = \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim} F_2 + ... + \mathrm{dim} F_{k+1}\).

Soit \(G = F_1 + F_2 + ... + F_k\), on sait d'après \((P_k)\) que \(\mathrm{dim} G \le \mathrm{dim} F_1 + F_2 + ... + \mathrm{dim} F_k\) et que \(\mathrm{dim} (G + F_{k+1})  \le \mathrm{dim} G + \mathrm{dim} F_{k+1}\).

Si l'une de ces deux inégalités était stricte, cela entraînerait que

\(\mathrm{dim} (F_1 + F_2 + ... + F_{k+1}) < \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim} F_2 + ... + \mathrm{dim}F_{k+1}\), ce qui est contraire à l'hypothèse (*). Donc on a à la fois :

(**) \(\mathrm{dim} G = \mathrm{dim} F_1 + \mathrm{dim} F_2 + ... + \mathrm{dim} F_k\) et

(***) \(\mathrm{dim}(G + F_{k+1}) = \mathrm{dim} G + \mathrm{dim} F_{k+1}\)

L'égalité (***) entraîne que la somme \(G + F_{k+1}\) est directe d'après \((P_2)\),

et l'égalité (**) entraîne que la somme \(F_1 + F_2 + ... + F_k\) est directe, d'après \((P_k)\) et donc \(F_1 + F_2 + ... + F_{k+1} = ( F_1 \oplus F_2 \oplus ... \oplus F_k) \oplus F_{k+1} = F_1 \oplus F_2 \oplus ... \oplus F_{F_{k+1}}\)

(voir la ressource "somme, somme directe")

Donc on a bien démontré par récurrence que pour tout entier \(n\), \((P_n)\) est vraie.