Résultats sur les bases

Le théorème précédent permet de déduire des résultats intéressants sur les bases des sous-espaces vectoriels considérés.

Soient \(F_1, F_2, ..., F_n\) des sous-espaces vectoriels de type fini d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\).

Pour chaque entier \(p\), \(1 \le p \le n\) , soit \(q_p\) la dimension de \(F_p\), soit \(B_p = (e_1^p, e_2^p, ..., e_{q_p}^p)\) une base de \(F_p\).

Remarque

Cette notation des vecteurs des bases \(B_p\) s'impose pour distinguer leur appartenance aux sous-espaces considérés : \(e_k^p\) représente le \(k\textrm{-i\`eme}\) vecteur de la base \(B_p\) du sous-espace \(F_p\) (pour un \(p\) fixé, représentant l'appartenance au sous-espace \(F_p\), \(1 \le p \le n\), k est compris entre \(1\) et \(q_p\) qui est la dimension de \(F_p\)).

Proposition

Soient \(F_1, F_2, ... , F_n\) des sous-espaces vectoriels de type fini d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), et pour chaque entier \(p\), \(1 \le p \le n\), \(B_p = (e_1^p, e_2^p, ... , e_{q_p}^p)\) une base de \(F_p\).

Soit

\(B= \displaystyle{\bigcup_{p=1}^{p=n}\{e_1^p, e_2^p, ... , e_{q_p}^p\}}\),

Alors \(B\) est une famille génératrice de \(F_1+ F_2+ ... + F_n\) si et seulement si la somme \(F_1+ F_2+ ... + F_n\) est directe.

Démonstration

Soit \(x\) un élément de \(F_1+ F_2+ ... + F_n\); il existe alors pour chaque entier \(p\), \(1 \le p \le n\), un élément \(x_p\) appartenant à \(F_p\), tel que \(x = x_1 + x_2 + ... + x_n\).

Soit \(q_p\) la dimension de \(F_p\), et soit \(B_p = (e_1^p, e_2^p, ... , e_{q_p}^p)\) une base de \(F_p\).

Alors \(x_p = \lambda_1^p e_1^p + \lambda_2^p e_2^p + ... + \lambda_{q_p}^p e_{q_p}^p\),

donc \(x = (\lambda_1^1e_1^1 + \lambda_2^1e_2^1 + ... + \lambda_{q_1}^1e_{q_1}^1) + ... +(\lambda_1^ne_1^n + \lambda_2^ne_2^n + ...+ \lambda_{q_n}^ne_{q_n}^n )\).

Soit\( \displaystyle{B =\bigcup_{p=1}^{p =n} \{e_1^p, e_2^p, ... , e_{q_p}^p\}}.\)

Donc \(x\) est une combinaison linéaire de tous les éléments de \(B\). La famille \(B\) est donc une partie génératrice de \(F_1, F_2, ... , F_n\).

On retrouve ainsi le résultat trouvé précédemment :

\(F_1, F_2, ... , F_n\) est de type fini et (comme \(B\) contient \(q_1 + q_2 + ... + q_n\) éléments) la dimension de \(F_1, F_2, ... , F_n\) est inférieure ou égale à \(q_1 + q_2 + ... + q_n\), qui est la somme des dimensions des \(F_p\).

De plus \(\displaystyle{B =\bigcup_{p=1}^{p =n} \{e_1^p, e_2^p, ... , e_{q_p}^p\}}\) détermine une base de \(F_1+ F_2+ ... + F_n\) si et seulement si la dimension de \(F_1+ F_2+ ... + F_n\) est égale au nombre d'éléments de \(B\) qui est \(q_1 + q_2 + ... + q_n\), donc si et seulement si la somme \(F_1+ F_2+ ... + F_n\) est directe.