Espace vectoriel de type fini

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de type fini d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\). Alors les dimensions de \(F\), \(G\), \(F + G\) et \(F \cap G\) vérifient :

\(\mathrm{dim}(F+G) = \mathrm{dim} F + \mathrm{dim}G - \mathrm{dim}(F \cap G)\)

Soit \(H\) l'intersection de \(F\) et de \(G, H\) en tant que sous-espace vectoriel de \(F\) admet un supplémentaire \(F'\) dans\( F\), et de même admet un supplémentaire \(G'\) dans \(G\).

Donc \(F \cap G = H\), \(F = H \oplus F'\), \(G = H \oplus G'\).

Montrons que \(F + G = H \oplus F' \oplus G'\) :

Soit \(u\) un élément de \(F + G\)

\(\exists v \in F, \exists w \in G, u = v + w\)

\((F = H \oplus F') \Rightarrow (\exists v_1 \in H, \exists v_2 \in F', v = v_1 + v_2)\)

\((G = H \oplus G') \Rightarrow (\exists w_1 \in H, \exists w_2 \in G', w = w_1 + w_2)\)

Alors \(u = (v_1 + v_2) + (w_1 + w_2)=t + v_2 + w_2\), où \(t = (v_1 + w_1) \in H, v_2 \in F', w_2 \in G'\).

Donc \(u\) appartient à \(H + F' + G'\).

Si \(u\) admet les deux écritures :

\(u = t + v_2 + w_2\) avec \((t, v_2, w_2) \in (H, F', G')\) et

\(u = t' + v'_2 + w'_2\) avec \((t', v'_2, w'_2) \in (H, F', G')\)

alors \(0 = (t - t') + (v_2 - v'_2) + (w_2 - w'_2)\)

donc \((t - t') + (v_2 - v'_2) = (w'_2 - w_2)\) où \((t-t') \in H, (v_2 - v'_2) \in F'\) et \((w_2 - w'_2) \in G'\)

or \((t - t') + (v_2 - v'_2) \in (H + F') = F\),

donc \((t - t') + (v_2 - v'_2) = (w'_2 - w_2) \in (F \cap G')\), mais \(F \cap G' = \{0\}\)

(en effet, \(F \cap G'\) est contenu dans \(F \cap G = H\), donc dans \(H  \cap G' = \{0\}\))

donc \((t - t') + (v_2 - v'_2) = 0\) et \((w'_2 - w_2) = 0\),

ceci entraîne que \((t - t') = (v'_2 - v_2) \in H \cap F'\), mais \(H \cap F' = \{0\}\)

donc \(t = t', v_2 = v'_2, w_2 = w'_2\).

L'écriture de tout élément \(u\) de \(F + G\) comme somme d'éléments de \(H\), de \(F'\), et de \(G'\), est unique, ce qui prouve que \(F+G = H \oplus F' \oplus G'\).

D'après le théorème sur la dimension de la somme directe de plusieurs sous-espaces :

\(\mathrm{dim}(F+G) = \mathrm{dim}(H \oplus F' \oplus G') = \mathrm{dim} H + \mathrm{dim} F' + \mathrm{dim}G'\),

or \(H \oplus F' = F\) et \(H \oplus G' = G\),

donc \(\mathrm{dim}H + \mathrm{dim}F' = \mathrm{dim}F\) et \(\mathrm{dim}G' = \mathrm{dim}G - \mathrm{dim}H\),

comme \(H = F  \cap G\), on a bien \(\mathrm{dim}(F+G) = \mathrm{dim}F + \mathrm{dim}G - \mathrm{dim}(F \cap G)\).