Définition et propriétés
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel et \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) une famille finie de vecteurs de \(E\).
Le sous-espace vectoriel engendré par \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) est de type fini (puisqu'il admet trivialement une famille finie de générateurs). On peut donc donner la définition suivante :
Définition :
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel et \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) une famille finie de vecteurs de \(E\).
Le rang de la famille \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) (on dit aussi rang des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) est la dimension du sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\).
Notation
Le rang de la famille\( \{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) est noté \(\mathrm{rg}(v_1, v_2, ... , v_p)\).
Il vient immédiatement les résultats suivants :
Proposition :
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel et \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) une famille de \(p\) vecteurs non tous nuls de \(E\). Alors :
Les inégalités suivantes sont satisfaites :
\(0 < \mathrm{rg}(v_1, v_2, ... , v_p) \le p\)
Le rang de \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) est le nombre maximum d'éléments d'une famille libre extraite de \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\). Donc \(\mathrm{rg}(v_1, v_2, ... , v_p) = r\) si et seulement il existe une famille libre de r vecteurs extraite de \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) et si toute famille de \(q\) vecteurs, avec \(q >r\), extraite de \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\), est liée.
En particulier \(\mathrm{rg}(v_1, v_2, ... , v_p) = p\) si et seulement les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) sont linéairement indépendants.
Enfin, si \(\mathrm{rg}(v_1, v_2, ... , v_p) = r\), toute partie libre de r éléments extraite de \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\}\) détermine une base du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\)
Remarque : Remarque 1
Le cas où tous les vecteurs sont nuls est immédiat ; il est clair que l'on a l'équivalence suivante :
\(\mathrm{rg}(v_1, v_2, ... , v_p) = 0 \Leftrightarrow v_1 = v_2 = ... = v_p = 0\)
Remarque : Remarque 2
Si E est un espace vectoriel de type fini, il est évident d'après les propriétés des sous-espaces vectoriels de type fini, que le rang d'une famille finie de vecteurs de \(E\) est inférieur ou égal à la dimension de \(E\).