Définition et propriétés

Soit un -espace vectoriel et une famille finie de vecteurs de .

Le sous-espace vectoriel engendré par est de type fini (puisqu'il admet trivialement une famille finie de générateurs). On peut donc donner la définition suivante :

Définition

Soit un -espace vectoriel et une famille finie de vecteurs de .

Le rang de la famille (on dit aussi rang des vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs .

Notation

Le rang de la famille est noté .

Il vient immédiatement les résultats suivants :

Proposition

Soit un -espace vectoriel et une famille de vecteurs non tous nuls de . Alors :

  1. Les inégalités suivantes sont satisfaites :

  2. Le rang de est le nombre maximum d'éléments d'une famille libre extraite de . Donc si et seulement il existe une famille libre de r vecteurs extraite de et si toute famille de vecteurs, avec , extraite de , est liée.

    En particulier si et seulement les vecteurs sont linéairement indépendants.

  3. Enfin, si , toute partie libre de r éléments extraite de détermine une base du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs

Remarque : Remarque 1

Le cas où tous les vecteurs sont nuls est immédiat ; il est clair que l'on a l'équivalence suivante :

Remarque : Remarque 2

Si E est un espace vectoriel de type fini, il est évident d'après les propriétés des sous-espaces vectoriels de type fini, que le rang d'une famille finie de vecteurs de est inférieur ou égal à la dimension de .

Légende :
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