Méthode pratique de détermination du rang d'une famille finie de vecteurs
Méthode : Première méthode

On utilise l'algorithme de construction d'une base pour un espace vectoriel de type fini (qui a conduit à la démonstration de l'existence d'une base), en partant de la partie génératrice

Algorithme

Soit une partie génératrice finie de . Comme est différent de , la partie génératrice contient des éléments non nuls. Il y a des parties de libres (par exemple les singletons où g est un élément non nul de ).

Soit L l'une d'elle. Deux cas sont possibles :

  • ou bien est une partie génératrice de et c'est fini puisque c'est une partie génératrice et libre,

  • ou bien n'est pas une partie génératrice et il existe au moins un élément de , soit qui n'est pas combinaison linéaire des éléments de .

    Alors la partie vérifie les propriétés suivantes :

    • libre

    • où " " désigne une inclusion stricte

    On recommence le même raisonnement à partir de .

    • ou bien est une partie génératrice de E et c'est fini (partie génératrice et libre),

    • ou bien n'est pas une partie génératrice et il existe au moins un élément de , soit , qui n'est pas combinaison linéaire des éléments de

      Alors la partie vérifie les propriétés suivantes :

      • libre

      • où " " désigne une inclusion stricte

    L'algorithme consiste donc à construire une suite, strictement croissante pour l'inclusion, de parties libres contenues dans , où, si n'engendre pas , est obtenu à partir de en lui ajoutant un vecteur de G tel que oit libre. Comme la partie est finie, d'aprés la démonstration du théoréme, le processus s'arrête et il existe un entier s tel que engendre E. Alors sera une partie finie, libre et génératrice, et déterminera donc une base.

Méthode : Deuxième méthode

Elle est basée sur la même philosophie que la méthode du pivot de Gauss pour résoudre les systèmes. Son point de départ est la propriété suivante :

Proposition : Proposition 1

Le rang d'une famille de vecteurs n'est pas modifié si l'on rajoute à l'un d'eux une combinaison linéaire des autres.

Remarque

Cet énoncé suppose évidemment que l'on considère une famille d'au moins deux vecteurs. Cela ne pose aucun problème dans la mesure ou la détermination du rang d'une famille de vecteurs ne comportant qu'un vecteur est immédiate : ou bien ce vecteur est nul et le rang est égal à 0 ou bien ce vecteur est non nul et le rang est égal à 1

Preuve : Preuve de la proposition

Soit le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs . Pour faciliter l'écriture, on suppose que c'est au vecteur que l'on rajoute une combinaison linéaire des autres. Il est clair que cela ne nuit pas à la généralité de la démonstration.

Soit

La définition de implique que appartient au sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs et donc que est inclus dans .

La définition de implique aussi l'égalité et donc, comme précédemment l'inclusion de dans . D'où les égalités :

Conséquence

Soient des scalaires.

En appliquant successivement fois le résultat précédent, on prouve que les familles et ont même rang.

Remarque : Remarque préliminaire

il est clair que moins on aura de vecteurs, plus les calculs seront faciles. Donc il y a toujours intérêt à commencer par " observer " les vecteurs dont on cherche le rang pour éliminer tout ce qui peut l'être : le vecteur nul si il est dans la famille, un vecteur visiblement combinaison linéaire des autres, par exemple.

Dans la plupart des exemples, la recherche du rang concernera des vecteurs appartenant à un espace vectoriel E de type fini, vecteurs que l'on exprimera donc dans une base de .

On se place donc désormais dans cette situation. On s'appuiera alors sur la propriété suivante :

Proposition : Proposition 2

Soit un espace de type fini et sa dimension.

Soient une base de E et des vecteurs de , dont les coordonnées dans la base se présentent de la manière suivante :

avec, pour tous les entiers compris entre 1 et , non nul.

Alors les vecteurs sont linéairement indépendants.

Démonstration

Soit une combinaison linéaire nulle des vecteurs

La coordonnée de sur le vecteur est , donc et comme est non nul, .

On est donc ramené à la combinaison linéaire où les vecteurs vérifient exactement les hypothèses de la proposition.

Une démonstration par récurrence permet d'achever la démonstration.

Une conséquence immédiate de cette proposition est :

Corollaire

Si des vecteurs vérifient les hypothèses de la proposition précédente le rang des vecteurs est exactement égal à .

Méthode

La recherche du rang d'une famille finie de vecteurs , d'un espace de type fini consistera donc à utiliser la conséquence de la proposition 1 autant de fois qu'il est nécessaire pour se ramener à la recherche du rang d'une famille de vecteurs satisfaisants aux hypothèses de la proposition 2.

Soit donc une famille de vecteurs de E, tous non nuls (on peut les choisir ainsi à cause de la remarque préliminaire), et une base de E.

On choisira un vecteur de la base et un vecteur de la famille dont la coordonnée sur ce vecteur de base soit non nulle (existent puisque sont tous non nuls). Pour faciliter l'exposition, supposons par exemple que ait une coordonnée non nulle sur . Alors, on choisira des scalaires de telle sorte que la coordonnée des vecteurs sur soit nulle.

Il sera alors tout à fait clair que, si l'on dresse, comme dans l'énoncé de la proposition 2, le tableau des coordonnées des vecteurs , , la " première colonne " aura tous ses éléments, sauf le premier, nuls.

En recommençant, à partir des vecteurs et d'un autre vecteur de base, on se ramènera au bout d'un nombre fini d'étapes au cas d'un système de vecteurs satisfaisants aux hypothèses de la proposition 2.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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