Exemple

Soit à chercher le rang de la famille des 5 vecteurs de suivants :

Commentaire immédiat

Comme tout sous-espace vectoriel de a une dimension inférieure ou égale à la dimension de qui est égale à 4, le rang des 5 vecteurs est strictement inférieur à 5.

Première étape

On laisse inchangé et on remplace, pour i tel que , les vecteurs respectivement par de manière à ce que la première composante de soit nulle. Cela donne :

Le rang des vecteurs est donc égal au rang des vecteurs .

Deuxième étape

On recommence à partir des vecteurs . Pour faciliter les calculs (en particulier pour éviter les fractions), on gardera et on remplacera les autres suivant le procédé précédent de manière à avoir des vecteurs dont la deuxième composantes soit nulle.

Le rang des vecteurs est égal au rang des vecteurs .

Troisième étape

On recommence, en remarquant que et . Donc on a immédiatement :

Le rang des vecteurs est égal au rang des vecteurs .

Mais, comme les vecteurs sont nuls, le rang des vecteurs est égal à celui des vecteurs .

Ces derniers satisfont aux hypothèses de la proposition 2 donc leur rang est égal à 3.

Résultat supplémentaire

Il est intéressant de noter que cette méthode permet non seulement de déterminer le rang des vecteurs , mais aussi les relations de dépendance linéaire qui existent entre ces vecteurs.

En effet la recherche précédente s'est achevée par les égalités : et , d'où, en remplaçant les vecteurs par leur expression en fonction des vecteurs puis ceux-ci par leur expression en fonction des vecteurs initiaux , il est possible de déduire, successivement, les égalités suivantes :

soit

Ce qui donne finalement les relations :

soit

Il est possible de déduire, en outre, que est une base du sous-espace vectoriel de ngendré par les vecteurs .

Légende :
Apprendre
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