Introduction
Les cinq exercices de cette ressource portent sur la notion de dimension et sur les propriétés d'un espace vectoriel de type fini, dont on connaît la dimension.
Ce que vous devez connaître avant d'aborder cette ressource
La définition de la dimension d'un espace vectoriel de type fini.
Les propriétés d'un espace vectoriel de type fini.
La dimension des espaces vectoriels usuels :\( \mathbb R^n\), espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal à \(n\), \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(\mathbb C\).
La dimension du produit cartésien de deux sous-espaces vectoriels de type fini.
La méthode du pivot de Gauss pour résoudre les systèmes.
Ce que vous allez tester dans cette ressource
Montrer qu'une famille de vecteurs détermine une base d'un espace vectoriel de type fini connaissant la dimension de cet espace vectoriel.
Déterminer la dimension d'un espace vectoriel de type fini.
Ce qui vous est proposé Cinq exercices guidés.
Dans les trois premiers exercices, il s'agit de démontrer qu'une partie d'un espace vectoriel, dont on connaît la dimension, détermine une base de cet espace vectoriel :
pour l'exercice 1 : l'espace vectoriel considéré est \(\mathbb R^3\)
pour l'exercice 2 : l'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel des fonctions polynômes réelles de degré inférieur ou égal \(3\)
pour l'exercice 3 : l'espace vectoriel considéré est le \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(\mathbb C\).
Dans l'exercice 4, il s'agit de démontrer qu'un ensemble de fonctions muni des lois habituelles est un espace vectoriel et ensuite de déterminer sa dimension.
L'exercice 5 utilise les résultats sur la dimension d'un produit cartésien d'espaces vectoriels.
Un exercice guidé comporte un énoncé, des possibilités d'assistance (lecture de texte, méthodologie, aide) et une solution.
Temps prévu : environ 15 min. par exercice, soit 75 min. pour la ressource complète.