Base de R^3
Partie
Question
On considère les vecteurs de \(\mathbb R^3\) suivants : \(u=(1,2,1)\), \(v=(1,1,1)\), \(w=(3,0,1)\)
Montrer que \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbb R^3\).
Aide méthodologique
L'espace vectoriel \(\mathbb R^3\) a pour dimension \(3\).
La partie \(\{u,v,w\}\) contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbb R^3\), il suffit de démontrer que la partie \(\{u,v,w\}\) est une partie libre ou bien que la partie \(\{u,v,w\}\) est une partie génératrice de \(\mathbb R^3\).
Il est en général plus simple de démontrer qu'une partie est libre.
Solution détaillée
L'espace vectoriel \(\mathbb R^3\) a pour dimension \(3\).
La partie \(\{u,v,w\}\) contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que \((u,v,w)\) est une base de \(\mathbb R^3\), il suffit de démontrer que la partie \(\{u,v,w\}\) est une partie libre.
Soit \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) trois réels vérifiant l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\), c'est-à-dire
\(\alpha(1,2,1)+\beta(1,1,1)+\gamma(3,0,1)=(0,0,0)\)
Le triplet \((\alpha,\beta,\gamma)\) est solution du système \((S)\) suivant, obtenu en égalant les composantes de même rang,
\((S)\left\{\begin{array}{ccccccc}\alpha&+&\beta&+&3\gamma&=&0\\2\alpha&+&\beta&&&=&0\\\alpha&+&\beta&+&\gamma&=&0\end{array}\right.\)
Le système \((S)\) est équivalent à \(\left\{\begin{array}{cccccccc}\alpha&+&\beta&+&3\gamma&=&0&\\&-&\beta&-&6\gamma&=&0&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\&&&-&2\gamma&=&0&L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array}\right.\)
Le triplet \((0,0,0)\) est l'unique solution du système \((S)\).
La partie \(\{u,v,w\}\) est donc libre et \((u,v,w)\) est donc une base de \(\mathbb R^3\).