Identification d'une famille génératrice de R^3

Partie

Question

Les parties suivantes sont-elles génératrices de \(\mathbb R^3\) ?

  1. \(A=\{(1,1,1),(1,1,-1)\}\)

  2. \(B=\{(1,0,-1),(-1,1,0),(0,-1,1)\}\)

  3. \(C=\{(1,1,1),(2,-1,2),(1,-2,-1)\}\)

  4. \(D=\{(1,1,1),(2,-1,2),(1,-2,-1),(-6,20,-13)\}\)

Aide détaillée

1. Remarquer que les vecteurs de \(A\) ont leurs deux premières composantes égales.

2. et 3. Caractériser les vecteurs de \(\mathbb R^3\) qui sont combinaisons linéaires d'éléments de \(B\).

4. Comparer \(C\) et \(D\).

Aide méthodologique

Dans le cas de \(A\), on se donne \((x,y,z)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb R^3\) et on recherche des réels \(\alpha\) et \(\beta\) satisfaisant à \(\alpha(1,1,1)+\beta(1,1,-1)=(x,y,z)\). Cela conduit à écrire un système linéaire.

Si on arrive à prouver l'existence d'une solution au système, tout vecteur de \(\mathbb R^3\) est combinaison linéaire d'éléments de \(A\), la réponse sera oui.

Sinon, peut-être la réponse est-elle non. On cherche alors à construire un vecteur qui ne soit pas combinaison linéaire d'éléments de \(A\) ; ce vecteur, quand il est construit, s'appelle un contre-exemple et la réponse est non.

Aide à la lecture

Il s'agit de savoir répondre à la question : tout vecteur de \(\mathbb R^3\) peut-il s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de \(A\) (ou \(B\),...) ?

Solution détaillée

1. Soit \(e=(1,0,0)\) montrons que \(e\) n'est pas combinaison linéaire d'éléments de \(A\).

Raisonnons par l'absurde.

Supposons qu'il existe des scalaires \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\alpha(1,1,1)+\beta(1,1,-1)=e\),

alors \((\alpha,\alpha,\alpha)+(\beta,\beta,-\beta)=(1,0,0)\), donc \((\alpha+\beta,\alpha+\beta,\alpha-\beta)=(1,0,0)\),

ce qui entraîne \(\alpha+\beta=1\) et \(\alpha+\beta=0\).

Ces égalités ne sont pas simultanément réalisables dans \(\mathbb R\). D'où la contradiction.

Donc \(A\) n'est pas une partie génératrice de \(\mathbb R^3\).

Remarque

Tout vecteur combinaison linéaire de vecteurs de \(A\) a ses deux premières composantes égales donc tout vecteur \((a,b,c)\), avec \(a\) distinct de \(b\), peut servir de contre-exemple.

2. Soit \(u=(x,y,z)\).

\(u\) est combinaison linéaire d'éléments de \(B\) équivaut à l'existence de réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) vérifiant

\(\alpha(1,0,-1)+\beta(-1,1,0)+\gamma(0,-1,1)=(x,y,z)\)

Cela revient à trouver des solutions au système :

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha&-&\beta&&&=&x\\&&\beta&-&\gamma&=&y\\-\alpha&&&+&\gamma&=&z\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha&-&\beta&&&=&x\\&&\beta&-&\gamma&=&y\\&&&&0&=&x+y+z\end{array}\right.\)

Ce système n'a de solution que si \(x+y+z=0\), par exemple si \(u=(1,-1,0)\) mais si \(v=(1,1,1)\) le système n'a pas de solution, ainsi \(v\) n'est pas combinaison linéaire d'éléments de \(B\).

Donc \(B\) n'est pas une partie génératrice de \(\mathbb R^3\).

3. Soit \(u=(x,y,z)\).

\(u\) est combinaison linéaire d'éléments de \(C\) équivaut à l'existence de réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) vérifiant

\(\alpha(1,1,1)+\beta(2,-1,2)+\gamma(1,-2,-1)=(x,y,z)\)

Cela revient à trouver des solutions au système :

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha&+&2\beta&+&\gamma&=&x\\\alpha&-&\beta&-&2\gamma&=&y\\\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&z\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcc}\alpha&+&2\beta&+&\gamma&=&x\\&-&3\beta&-&3\gamma&=&-x+y\\&&&-&2\gamma&=&-x+z\end{array}\right.\)

Quel que soit le choix de \((x,y,z)\), ce système a toujours une solution :

\(\left\{\begin{array}{lllll}\gamma&=&\displaystyle{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}z}&&\\\\\beta&=&\displaystyle{\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-y}&=&\displaystyle{-\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}z}\\\\\alpha&=&x-2\beta-\gamma&=&\displaystyle{\frac{5}{6}x+\frac{2}{3}y-\frac{1}{2}z}\end{array}\right.\)

Donc tout vecteur de \(\mathbb R^3\) peut s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de \(C\).

\(C\) est une partie génératrice de \(\mathbb R^3\).

Remarque

Il n'était pas indispensable de calculer explicitement une solution du système, on a seulement besoin de son existence, or celle-ci est assurée par les coefficients tous non nuls sur la diagonale du système triangulaire.

4. On remarque que la partie \(D\) contient la partie \(C\), donc tout vecteur de \(\mathbb R^3\) pouvant s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de \(C\), peut aussi s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de \(D\) (Propriété 1 de la ressource "Ensemble fini de générateurs d'un espace vectoriel").

\(D\) est une partie génératrice de \(\mathbb R^3\).