Espace vectoriel R^4
Partie
Question
On considère les vecteurs de \(\mathbb R^4\) suivants : \(u=(1,2,0,-1)\), \(v=(2,0,1,3)\), \(w=(-1,6,-2,-9)\)
La partie \(\{u,v,w\}\) est-elle une partie libre de \(\mathbb R^4\) ?
Aide simple
Partir de l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)\).
Ecrire le vecteur \(\alpha u+\beta v+\gamma w\) sous forme de quadruplet, puis traduire l'égalité \((1)\) sous forme de système.
Aide méthodologique
On cherche les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)\).
Le triplet \((0,0,0)\) vérifie toujours l'égalité \((1)\). Si c'est le seul triplet vérifiant \((1)\) alors la partie \(\{u,v,w\}\) est libre, sinon la partie \(\{u,v,w\}\) est liée.
Aide à la lecture
Il s'agit de répondre à la question suivante :
\(\alpha,\beta,\gamma\) étant trois réels, l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\) implique-t-elle \(\alpha=\beta=\gamma=0\)?
Solution détaillée
On cherche les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)\).
\((1)\Leftrightarrow(\alpha+2\beta-\gamma,2\alpha+6\gamma,\beta-2\gamma,-\alpha+3\beta-9\gamma)=(0,0,0,0)\)
L'égalité de deux triplets se traduit par l'égalité des composantes de même rang.
Chercher les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\) revient donc à résoudre le système \((S)\) suivant :
\((S)\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0\\2\alpha&&&+&6\gamma&=&0\\&&\beta&-&2\gamma&=&0\\-\alpha&+&3\beta&-&9\gamma&=&0\end{array}\right.\)
équivalent à \(\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0&\\&-&4\beta&+&8\gamma&=&0&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\&&\beta&-&2\gamma&=&0&\\&&5\beta&-&10\gamma&=&0&L_3\leftarrow L_3+L_1\end{array}\right.\)
équivalent à \(\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0\\&&\beta&-&2\gamma&=&0\end{array}\right.\)
équivalent à \(\left\{\begin{array}{rcr}\beta&=&2\gamma\\\alpha&=&-3\gamma\end{array}\right.\)
Le système \((S)\) admet donc une infinité de solutions :
ce sont tous les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) tels que \(\left\{\begin{array}{rcr}\alpha&=&-3\gamma\\\beta&=&2\gamma\end{array}\right.\)
Par exemple, si on choisit \(\gamma=1\), le triplet \((-3,2,1)\) est solution de \((S)\), et on a donc \(-3u+2v+w=0\)
On a trouvé une combinaison linéaire des trois vecteurs \(u,v,w\) qui est égale à \(0\) avec des coefficients non tous nuls.
On peut donc conclure que la partie \(\{u,v,w\}\) est liée.