Espace vectoriel quelconque
Partie
Question
Dans un espace vectoriel \(E\) sur le corps \(\mathbb C\), démontrer que, si les vecteurs \(u\), \(v\), \(w\) sont linéairement indépendants, il en est de même des vecteurs \(u+v\), \(v+w\), \(w+u\).
Aide simple
Partir de l'égalité \(\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0\),
puis écrire le vecteur \(\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\).
Aide méthodologique
On cherche les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb C^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0\quad(1)\).
Le triplet \((0,0,0)\) vérifie toujours l'égalité \((1)\).
Si c'est le seul triplet vérifiant \((1)\) alors la partie \(\{u+v,v+w,w+u\}\) est libre,
sinon la partie \(\{u+v,v+w,w+u\}\) est liée.
Solution détaillée
On cherche les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb C^3\) qui vérifient l'égalité :
\(\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0\quad(1)\).
\((1)\Leftrightarrow(\alpha+\gamma)u+(\alpha+\beta)v+(\beta+\gamma)w=0\)
D'après l'hypothèse, la partie \(\{u,v,w\}\) est libre.
Donc \(\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0\) est équivalent à
\(\left\{\begin{array}{lllllll}\alpha&&&+&\gamma&=&0\\\alpha&+&\beta&&&=&0\\&&\beta&+&\gamma&=&0\end{array}\right.\Leftrightarrow~\left\{\begin{array}{ccc}\gamma&=&-\alpha\\\beta&=&-\alpha\\\gamma&=&-\beta\end{array}\right.\Leftrightarrow~\alpha=\beta=\gamma=0\)
Le seul triplet vérifiant l'égalité \(\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0\) est le triplet \((0,0,0)\).
Les vecteurs \(u+v\), \(v+w\), \(w+u\) sont donc linéairement indépendants.