Application linéaire

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace-vectoriel}\), \(w\) un vecteur non nul de \(E\) et \(f\) l'application définie par

\(\left[\begin{array}{lrcl}f :& E &\to& E\\&u &\mapsto& u + w\end{array}\right.\)

\(f\) est appelée translation de vecteur \(w\). \(f(0_E) = w\) d'où \(f(0_E) \ne 0_E\).

L'application \(f\) n'est donc pas linéaire.

Soit \(f\) l'application définie par :

\(\left[\begin{array}{lrcl}f :& \mathbb R^2 &\to& \mathbb R^2 \\&(x,y) &\mapsto& (x^2, y)\end{array}\right.\)

Si \(u = (1,0), f(u) = (1,0), -u = (-1,0)\) et \(f(-u) = (1,0)\).

\(f(-u) \ne -f(u)\) donc \(f\) n'est pas linéaire.