Formes linéaires
Définition : Forme linéaire
Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\) (\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) ). Une forme linéaire sur \(E\) est une application linéaire de \(E\) dans \(\mathbb{K}\), \(\mathbb{K}\) étant considéré comme un espace vectoriel sur lui-même.
Cas particulier : E espace vectoriel de type fini
On suppose que \(E\) est de dimension \(p\). Soit \(B = (e_{1},e_{2},...,e_{p})\) une base de \(E\).
Caractérisation d'une forme linéaire
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(p\) et \(B = (e_{1},e_{2},...,e_{p})\) une base de \(E\).
Une application de \(E\) dans \(\mathbb{K}\) est une forme linéaire sur \(E\) si et seulement si il existe \(p\) scalaires \(a_{1},a_{2},...,a_{p}\) tels que pour tout \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + ...+x_{p}e_{p}\), \(f(x) = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ...+a_{p}x_{p}\)
Remarque :
l'expression \(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ... + a_{p}x_{p}\) est une expression polynomiale homogène de degré 1 par rapport aux coordonnées de \(x\) sur la base \(B\).
Ce résultat pourra être rapproché d'une caractérisation des formes quadratiques sur un espace de type fini.