Mathématiques
Précédent
Exercices théoriques sur définition de forme quadratique
Le test comporte 3 questions :
Formes quadratiques et expressions polynomiales
Autre relation entre forme bilinéaire symétrique et forme quadratique
Composée d'une forme quadratique et d'un endomorphisme
La durée indicative du test est de 30 minutes.
Commencer
Formes quadratiques et expressions polynomiales

Déterminer si les applications de dans suivantes sont des formes quadratiques :

Autre relation entre forme bilinéaire symétrique et forme quadratique

Soient un espace vectoriel sur le corps , ou , une forme bilinéaire symétrique sur et la forme quadratique associée à .

  1. Montrer les identités :

  2. En déduire l'équivalence suivante :

Composée d'une forme quadratique et d'un endomorphisme

Soient un espace vectoriel sur le corps ou , un endomorphisme de , et une forme quadratique sur .

  1. Montrer que l'application de dans est une forme quadratique sur .

  2. On suppose de plus que est de dimension finie. Soit une base de .

    Déterminer la matrice associée à dans la base en fonction de la matrice associée à et de celle associée à dans .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Formes quadratiques et expressions polynomiales

Une application de dans est une forme quadratique sur si, pour tout vecteur de , est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées et de .

1. et 2. [3 points] Il est immédiat que et sont des formes quadratiques.

3. [7 points] On montre que n'est pas une forme quadratique par une démonstration par l'absurde.

En effet, supposons que soit une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées d'un vecteur de ; alors il existerait des réels , et tels que :

Or les images des quatre vecteurs et de sont : et

En utilisant l'expression , on obtient : , , , ,

d'où le système à résoudre :

Ce système n'a pas de solution car

Donc l'application n'est pas une forme quadratique.

Remarque

pour tout scalaire de et tout vecteur de on a quand même l'égalité La condition est une condition nécessaire pour qu'une application de dans soit une forme quadratique mais ce n'est pas une condition suffisante.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Autre relation entre forme bilinéaire symétrique et forme quadratique
  1. [5 points] On calcule en utilisant la définition et la bilinéarité et la symétrie de :

    D'où le résultat :  

  2. [5 points] On utilise le résultat précédent pour calculer

    D'où

    Or la forme quadratique vérifie pour tout scalaire de et tout vecteur de l'égalité

    On obtient donc : et par conséquent :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Composée d'une forme quadratique et d'un endomorphisme
  1. [6 points] Si on note par la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique on obtient pour tout vecteur de l'identité suivante :

    Pour montrer que est une forme quadratique sur , il y a deux méthodes possibles :

    1. première méthode : déterminer une forme bilinéaire symétrique telle que

    2. deuxième méthode : utiliser la caractérisation des formes quadratiques.

Méthode

Première méthode

On veut on essaie l'application définie par :

On remarque que l'application est symétrique, car pour tout et tout de puisque est symétrique ; et l'application est linéaire par rapport à la première variable : en effet pour tout vecteur fixé de soit l'application :

Pour tous scalaires et de et tous vecteurs et de on a

Comme est une application linéaire de dans il vient

Et comme est bilinéaire, donc linéaire par rapport à la première variable, on obtient :

Donc pour tout vecteur de est linéaire.

Comme est symétrique, on en déduit que pour tout vecteur de l'application de dans définie par est aussi linéaire, donc est bilinéaire.

Méthode

Deuxième méthode

Pour montrer que est une forme quadratique, on montre que les deux propriétés qui caractérisent les formes quadratiques sont vérifiées :

  • pour tout de et tout de

  • l'application définie pour tout de par

    est bilinéaire symétrique.

Or, comme est linéaire et comme est une forme quadratique, on a bien :

et l'application vérifie :

On remarque que l'application est l'application proposée précédemment et on démontre la symétrie et la bilinéarité de (comme cela a été fait pour ).

Donc est une forme bilinéaire symétrique.

Remarque : on peut remarquer que la deuxième méthode peut s'appliquer de façon mécanique pour déterminer si une application donnée est une forme quadratique.

Donc l'application de dans est une forme quadratique sur

  2. [4 points] On suppose de dimension finie et on cherche la matrice de dans une base de

On note la matrice de la forme quadratique dans la base la matrice de dans la base et la matrice de l'endomorphisme de dans la même base

Comme dans le 1), on note la forme bilinéaire symétrique associée à , et la forme bilinéaire symétrique associée à .

Donc la matrice est aussi la matrice de dans la base et est la matrice de dans cette base.

Soient et deux vecteurs de la matrice colonne dont les coefficients sont les coordonnées de dans la base et la matrice colonne dont les coefficients sont les coordonnées de dans la base

Alors les vecteurs et ont pour coordonnées respectives les coefficients de la matrice et ceux de la matrice

D'où

Or

Par conséquent

On a aussi

Ces égalités étant vraies pour tous vecteur et de on en déduit la relation suivante entre les matrices et  :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/30
Seuil critique :21
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)