Autre relation entre forme bilinéaire symétrique et forme quadratique

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

Soient \(E\) un espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{K}\),\(\mathbb{K = R}\) ou \(\mathbb{K = C}\), \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(q\) la forme quadratique associée à \(f\).

  1. Montrer les identités : \(\forall(u,v)\in E\times E, f(u,v) = \frac{1}{4}\big[q(u + v) - q(u -v)\big].\)

  2. En déduire l'équivalence suivante : \(q(u) = q(v) \Leftrightarrow f(u +v, u -v) =0.\)

Solution

  1. [5 points] On calcule \(q(u+v)-q(u-v)\) en utilisant la définition \(q(u) = f(u,u),\) et la bilinéarité et la symétrie de \(f\) :

    \(\begin{array}{lll}q(u +v) - q(u - v)  &=&  f(u +v, u + v) - f (u -v,u - v)\\&=&\big[f(u,u) + f(v,v) + 2f(u,v)\big]-\big[f(u,u) + f(v,v) - 2f(u,v)\big]\\&=&4f(u,v).\end{array}\)

    D'où le résultat :\(\qquad\) \(\forall(u,v) \in E \times E,\) \(f(u,v) = \frac{1}{4}\big[q(u + v) - q(u - v)\big]\)

  2. [5 points] On utilise le résultat précédent pour calculer \(f(u + v , u - v ).\)

    \(f(u+v,u - v) = \frac{1}{4}\big[q \big((u + v) + (u - v)\big) - q\big( (u + v) - (u - v)\big)\big]\)

    D'où \(f(u +v , u-v) = \frac{1}{4}\big[q(2u) - q(2v)\big].\)

    Or la forme quadratique \(q\) vérifie pour tout scalaire \(\lambda\) de \(\mathbb{K}\) et tout vecteur \(w\) de l'égalité \(q(\lambda w) = \lambda^{2}q(w).\)

    On obtient donc : \(f(u +v,u-v) = q(u) - q(v),\) et par conséquent :

    \(\qquad\) \(q(u) = q(v) \Leftrightarrow f(u + v, u -v) = 0\)