Mathématiques
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Formes quadratiques : décomposition de Gauss
Le test comporte 3 questions :
Rang et signature d'une forme quadratique
Recherche d'une base orthogonale
Formes quadratiques avec paramètres
La durée indicative du test est de 60 minutes.
Commencer
Rang et signature d'une forme quadratique

Soit la forme quadratique sur définie pour tout vecteur de par :

  1. Donner une décomposition en « carrés » de la forme quadratique

  2. En déduire le rang et la signature de la forme quadratique

  3. La forme quadratique est-elle dégénérée ? Est-elle positive ?

Recherche d'une base orthogonale

Soit la forme quadratique sur définie pour tout vecteur de par :

Construire une base orthogonale pour la forme quadratique

Ecrire la matrice associée à la forme quadratique par rapport à la base

Formes quadratiques avec paramètres

Soit la forme quadratique sur définie pour tout vecteur de par :

et étant deux réels quelconques.

Déterminer suivant les valeurs de et le rang et la signature de

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Rang et signature d'une forme quadratique

1. L'expression de , comporte plusieurs termes « carrés ».

On regroupe les termes en ce qui donne :

puis les termes en  :

Donc [4 points]

Remarque

les termes en en et en ayant le même coefficient dans l'expression initiale de on trouve des expressions analogues dans la décomposition en carrés de en permutant les termes en et

2. La forme quadratique définie sur se décompose en combinaison linéaire de carrés de quatre formes linéaires linéairement indépendantes, son rang est par conséquent 4 et sa signature est donnée par le nombre de coefficients positifs et de coefficients négatifs, on a donc :

[2 points]

3. L'espace vectoriel considéré est de dimension 4 et le rang de est 4, par conséquent la forme quadratique n'est pas dégénérée.

La forme quadratique n'est pas positive puisque sa signature n'est pas de la forme On peut voir aussi que le vecteur est tel que [2 points]

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Recherche d'une base orthogonale

Soit

On commence par décomposer la forme quadratique en « carrés ».

On regroupe les termes en ce qui donne :

Mais est de la forme

Par conséquent [4 points]

L'espace vectoriel considéré est de dimension 4 et le rang de est 3 car la signature de la forme quadratique est (2,1), donc la forme quadratique est dégénérée.

  • Construction d'une base orthogonale pour à partir de la décomposition en carrés :

    La forme quadratique est une combinaison linéaire de carrés des formes linéaires (linéairement indépendantes d'après leur construction) définies sur par :

On complète la famille libre par une forme linéaire de manière à ce que soit une base du dual de

Prenons par exemple

Cette forme linéaire convient car le déterminant des vecteurs sur la base duale de la base canonique de est :

[2 points]

Alors la base de antéduale de la base c'est-à-dire telle que :

est une base orthogonale pour

Au lieu de résoudre pour chaque entier le système ,

on résout le système

pour ensuite donner à successivement les valeurs et

On obtient les systèmes équivalents suivants :

On en déduit [4 points]

La base est une base orthogonale pour et pour tout vecteur

on a pour

Donc d'après l'expression , on obtient :

La matrice associée à par rapport à est donc :

[2 points]

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Formes quadratiques avec paramètres

On commence par décomposer la forme quadratique en « carrés ».

Comme l'expression de ne comporte aucun terme « carré », on privilégie un terme rectangle, par exemple dont le coefficient ne dépend pas d'un paramètre.

On écrit alors sous la forme : et sont des formes linéaires en et  ; ici et

On obtient :

On met ensuite sous la forme :

On obtient :

Le terme est de la forme

par conséquent :

et le terme est une forme quadratique en et qu'on décompose aussi en « carrés » :

D'où la décomposition de en « carrés » :

[4 points]

De par leurs constructions, les quatre formes linéaires définies par :

sont linéairement indépendantes pour toutes les valeurs de et [1 point]

L'expression de est donc :

En notant par la signature de et par le rang de on obtient les résultats suivants :

[5 points]

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/30
Seuil critique :21
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :60 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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