L'histoire du calcul vectoriel
Règle : Le parallélogramme
Aux seizième et dix-septième siècles pour calculer la résultante de deux forces\( F_{1} \)et \(F_{2}\) appliquées en un point \(M\) on applique la règle du parallélogramme et on obtient la résultante à l'aide de la diagonale du parallélogramme construit sur\( F_{1}\) et\( F_{2}\) . On utilise le même diagramme pour calculer la vitesse résultante en un point \(M\) de deux vitesses \(V_{1}\) et \(V_{2}\) suivant deux directions distinctes.
Les nombres complexes
La représentation géométrique des nombres complexes
Au début du dix-neuvième siècle, un danois Wessel (1799) et un suisse Argand (1806) donnent une représentation géométrique des nombres complexes comme des lignes orientées, ce qui fournit une justification géométrique des nombres complexes. Les nombres réels sont portés par l'axe des abscisses \(\overrightarrow{Ox}\)
Le vecteur \(\overrightarrow{OM}\) est défini par sa longueur \(\sqrt{a^2+b^2}\), sa direction et son sens donnés par l'angle orienté\( \alpha =\left (\overrightarrow{Ox} , \overrightarrow{OM}\right)\) avec\( a =OM~cos(\alpha)\) et \(b = OM~sin(\alpha).\)
Wessel et Argand montrent comment la somme de deux vecteurs \(\overrightarrow{OM}\)+\(\overrightarrow{ON}\) s'obtient par la règle du parallélogramme et comment le produit \(\overrightarrow{OP}\)de deux nombres complexes s'obtient par
\(OP = OM × ON\)
et
\(\left (\overrightarrow{Ox} ~, \overrightarrow{OP}\right)=\left (\overrightarrow{Ox}~, \overrightarrow{OM}\right)+\left (\overrightarrow{Ox}~, \overrightarrow{ON}\right)\)
Les vecteurs de l'espace
La représentation géométrique des nombres complexes fournit les vecteurs du plan. Bien sûr, chacun comprend à la fois l'intérêt de ces vecteurs mais aussi l'importance d'obtenir un tel système pour l'espace. Des mathématiciens comme Argand, Buée, Mourey, Warren, Gauss essaient d'étendre ce système à l'espace. Il faudra plusieurs décennies pour réussir.
Pratiquement en même temps au milieu du dix-neuvième siècle, deux mathématiciens Hamilton et Grassmann réussissent à étendre le calcul vectoriel à l'espace.
Les quaternions
Hamilton définit (en 1843) un quaternion comme une nouvelle sorte de nombre : \(s+a~\vec{i}+b~\vec{j}+c~\vec{k}\) où s, a, b, c sont des nombres ordinaires. Le terme \(s\) est appelé scalaire par Hamilton et la partie \(a~\vec{i}+b~\vec{j}+c~\vec{k}\) est appelée partie vectorielle du quaternion. Hamilton utilise les règles de calcul habituelles sur les nombres sauf la commutativité de la multiplication.
\(\vec{i}^2=\vec{j}^2=\vec{k}^2=-1\)
\(\vec{i}.\vec{j}=\vec{k}~~~~~~\vec{j}.\vec{k}=\vec{i}~~~~~~\vec{k}.\vec{i}=\vec{j}\)
\(\vec{j}.\vec{i}=-\vec{k}~~~~~~\vec{k}.\vec{j}=-\vec{i}~~~~~~\vec{i}.\vec{k}=-\vec{j}\)
Il montre que ceci fournit un système de nombres avec addition et produit, mais pour la première fois dans l'histoire, une des règles d'opération habituelle, la commutativité du produit, ne s'applique pas.
Les vecteurs en physique
Il est à remarquer que si on fait le produit de deux vecteurs purs on obtient :
\(\vec{V}\vec{V}=(a~\vec{i}+b~\vec{j}+c~\vec{k})~(a'~\vec{i}+b'~\vec{j}+c'~\vec{k})\)
\(=-aa'-bb'-cc'+(bc'-cb')~\vec{i}+(ca'-c'a)~\vec{j}+(ab'-ba')~\vec{k}\)
Soit pour la partie scalaire l'opposé de notre produit scalaire et pour la partie vectorielle notre produit vectoriel. L'usage des vecteurs permet une écriture aisée de nombreux calculs développés jusque là en physique avec des formules reliant des coordonnées. On obtient des formules plus claires et plus simples et on peut ensuite pour mener le calcul explicite des composantes choisir un repère adéquat.
L'analyse vectorielle
L'analyse vectorielle se développe avec la définition de la dérivée d'un vecteur \(v(t)\), du gradient, du rotationnel, de la divergence. De nombreuses applications physiques conduisent à la mise au point par les physiciens et à l'adoption du calcul vectoriel. Par exemple, Maxwell écrit son cours d'"Électromagnétisme" en 1873 en adoptant le point de vue des vecteurs au lieu d'utiliser les composantes.
Controverses
L'adoption du calcul vectoriel a donc été d'abord largement l'oeuvre de physiciens. Tait, Pierce, Maxwell, Clifford utilisent les vecteurs. Gibbs en 1881 fait la première présentation moderne de l'analyse vectorielle - électromagnétisme (en 3 volumes 1893- 1899-1912). C'est très important pour la diffusion et la mise au point de ce calcul. De nombreuses controverses ont accompagné l'histoire du calcul vectoriel entre les tenants du point de vue "quaternion" c'est à dire l'usage de "nombre quaternion" et l'usage des vecteurs dans l'espace à trois dimensions. C'est ce point de vue qui a prévalu avec le calcul vectoriel en abandonnant le point de vue "nombre" quaternion.