Les vecteurs liés de l'espace

Les vecteurs liés équipollents

les vecteurs liés non nuls \(\overrightarrow{AB}\). et \(\overrightarrow{A'B~'}\). sont dits équipollents dans les cas suivants :

  • \(ABB\,'A'\) est un parallélogramme non dégénéré (non aplati)

  • \(A, B, B\,', A'\) sont sur une même droite et il existe un vecteur lié \(\overrightarrow{A''B\,''}\) non situé sur cette droite tel que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A''B\,''}\) sont équipollents et que \(\overrightarrow{A'B\,'}\) et \(\overrightarrow{A''B\,''}\)sont équipollents.

Propriétés des vecteurs liés

Énonçons sans démonstration les principales propriétés des vecteurs liés vues dans l'enseignement secondaire.

  • Si deux vecteurs liés équipollents ont même origine, ils ont même extrémité.

  • Soit \(\overrightarrow{AB}\) un vecteur lié et\( A'\) un point quelconque, il existe un point \(B'\) tel que le vecteur lié \(\overrightarrow{A'B\,'}\) soit équipollent au vecteur lié

    \(\overrightarrow{AB}\).

  • Si les vecteurs liés non nuls \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B\,'}\) sont équipollents, alors tout vecteur lié \(\overrightarrow{A''B\,''}\) équipollent à \(\overrightarrow{AB}\) est aussi équipollent au vecteur lié \(\overrightarrow{A'B\,'}\).

  • Les vecteurs liés non nuls \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B\,'}\) sont équipollents si et seulement si les vecteurs liés \(\overrightarrow{AA'}\) et \(\overrightarrow{BB\,'}\) sont équipollents.

Notion de vecteur

On désigne par vecteur (ou vecteur libre) \(\vec{V}\) l'ensemble des vecteurs liés équipollents à un vecteur lié donné (et qui sont donc, d'après les propriétés énoncées précédemment), équipollents pris deux à deux. En mathématiques, on dit que la relation d'équipollence est une relation d'équivalence et qu'un vecteur est une classe d'équivalence pour cette relation. Un vecteur quelconque \(\overrightarrow{AB}\) de cet ensemble est appelé représentant de \(\vec{V}\) . Lorsque l'espace est rapporté à un repère d'origine \(O\), on utilise souvent comme représentant le vecteur lié \(\overrightarrow{OM}\) appartenant à cette classe, (qui est unique d'après la seconde propriété énoncée précédemment).

Géométriquement, un vecteur est donc caractérisé par trois éléments :

  • sa direction qui est la direction commune des toutes les droites qui portent les vecteurs liés de cette classe.

  • son sens sur cette direction, c'est-à-dire l'orientation commune de ces vecteurs liés.

  • sa longueur.

Composition des vecteurs liés

On appelle somme (ou résultante) de deux vecteurs liés \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) de même origine \(O\), le vecteur unique \(\overrightarrow{OC}\) tel que \(\overrightarrow{AC}\) soit équipollent à \(\overrightarrow{OB}\). On le note \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

D'après les propriétés vues précédemment, il est évident que la somme ne dépend pas de l'ordre des deux vecteurs. \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

Si nous considérons deux vecteurs liés \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) de même origine \(O\), et deux vecteurs liés \(\overrightarrow{O'A'}\) et \(\overrightarrow{O'B\,'}\), de même origine \(O'\), équipollents respectivement à \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\), alors la somme \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) est équipollente à la somme \(\overrightarrow{O'C'}=\overrightarrow{O'A'}+\overrightarrow{O'B\,'}\).

Somme de vecteurs

Cette propriété fournit donc la possibilité de définir la somme de vecteurs libres, \(\vec{V}\) et \(\vec{W}\) en prenant des représentants d'origine \(O\), \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OB}\) puisque le vecteur \(\vec{S}\) de représentant \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) ne dépend pas du choix du point \(O\)

Propriétés de l'addition des vecteurs

On démontre les propriétés suivantes pour les vecteurs liés d'origine \(O\) et donc aussi pour la somme des vecteurs.

La somme est associative : Si nous considérons trois vecteurs liés \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) et \(\overrightarrow{OC}\) de même origine \(O\), la somme \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\) est égale à \(\overrightarrow{OD}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)+\overrightarrow{OC}\) .

La somme possède un élément neutre, le vecteur nul.

Chaque vecteur a un opposé. L'opposé du vecteur \(\overrightarrow{OA}\) est le seul vecteur \(\overrightarrow{OA'}\) équipollent à \(\overrightarrow{AO}\).

La somme est commutative.

En algèbre, on désigne par groupe commutatif un ensemble qui possède une opération qui vérifie ces propriétés. L'ensemble des vecteurs liés d'origine \(O\) forme un groupe. De même pour les vecteurs liés d'origine un autre point quelconque \(P\). L'ensemble des vecteurs libres forme un groupe.

L'homothétie

Une homothétie \(h\) de centre \(O\) est une transformation de l'espace dans lui-même qui laisse le point \(O\) fixe et qui transforme toute droite en une droite parallèle. Elle est définie quand on se donne un point \(A\) et son image \(h(A)\). Les points \(A\), \(h(A)\) et \(O\) sont alignés. Si le point \(B\) a pour image \(B'\) = \(h(B)\), les deux points \(B\) et \(B'\) définissent la même homothétie.

Action sur les vecteurs

Une homothétie \(h\) de centre \(O\) conservant le parallélisme, elle transforme un parallélogramme en un parallélogramme. Cela implique qu'elle transforme deux vecteurs équipollents \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B\,'}\) en deux vecteurs équipollents \(\overrightarrow{h(A)~h(B)}\) et \(\overrightarrow{h(A')~h(B\,')}\)

Une homothétie de centre \(O\) opère donc sur les points, sur les vecteurs liés et sur les vecteurs.

Le rapport d'homothétie

Si l'homothétie de centre \(O\) est définie par un point \(A\) et son image \(h(A)\). Si \(\lambda\) est la mesure de \(\overrightarrow{Oh~(A)}\) quand on prend \(\overrightarrow{OA}\) comme unité, si l'image d'un point \(M\) est \(h(M)\) , le point \(M\) a comme abscisse \(\lambda\) sur l'axe défini par \(\overrightarrow{OM}\).

On note \(\overrightarrow{Oh~(M)}=\lambda.\overrightarrow{OM}\) et on dit que \(h\) est une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\) que l'on notera désormais \(h(O, \lambda)\).

Pour un vecteur \(\vec{V}\), on a\( \overrightarrow{h\left(V\right)}=\lambda.\vec{V}\)

Composition des homothéties

Le résultat essentiel sur la composition des homothéties est le suivant : Si on compose deux homothéties, \(h(O, \lambda)\) et \(g(O', \lambda)\), la composée \(g \circ h\) est une homothétie de centre \(O"\) aligné avec \(O\) et \(O'\) si\( \lambda ~\mu\ne 1\) et une translation si \(\lambda ~\mu = 1\).

Produit d'un vecteur par un scalaire

La traduction en terme de propriétés algébriques du produit d'un vecteur par un scalaire est récapitulée par les propriétés suivantes valables pour tous les vecteurs et tous les nombres :

\(\lambda.\left(\vec{U}+\vec{V}\right)=\lambda.\vec{U}+\lambda.\vec{V}\)

\((\lambda+\mu).\vec{U}=\lambda.\vec{U}+\mu.\vec{U}\)

\((\lambda\times\mu).\vec{U}=\lambda.\left(\mu.\vec{U}\right)\)

\(1.\vec{U}=\vec{U}\)

Ces propriétés seront au point de départ d'une étude purement algébrique des vecteurs.

Vecteurs et projections

Considérons les projections

  • sur un plan \(P\) parallèlement à une droite \(D\) sécante

  • sur une droite \(D\) parallèlement à un plan \(P\) sécant

Deux vecteurs liés représentant le même vecteur libre ont pour image des vecteurs représentant aussi le même vecteur libre.

Désignons par \(p\) une telle projection, (sur un plan ou sur une droite). On peut récapituler les propriétés de cette projection :

La projection est une application linéaire pour les vecteurs de l'espace, ce qui se traduit par les relations suivantes valables pour tous les vecteurs et tous les nombres :

\(p\left(\vec{U}+\vec{V}\right)=p(\vec{U})+p(\vec{V})\)

\(p\left(\lambda.\vec{U}\right)=\lambda.p(\vec{U})\)

\(p\left(\lambda.\vec{U}+\mu.\vec{V}\right)=\lambda.p(\vec{U})+\mu.p(\vec{V})\)