Faisceaux de plans

Considérons deux plans \(P_{1}~et~P_{2}\) , d'équations respectives

\(u_{1} x + v_{1} y + w_{1}z = d_{1}~~ et~~ u_{2} x + v_{2} y + w_{2}z = d_{2},\)

sécants suivant une droite \(D\), et cherchons les plans \(P\) qui contiennent \(D\).

Recherche des plans :

Si \(\alpha~et~\beta\) sont deux réels non tous deux nuls, l'équation

\((\alpha u_{1} + \beta u_{1})x + (\alpha v_{1} +\beta v_{2})y + (\alpha w_{1} + \beta w_{2})z = \alpha d_{1} +\beta d_{2}\)

est l'équation d'un plan (les coefficients de\( x, y, z\) ne sont pas tous nuls car les vecteurs \((u_{1}, v_{1}, w_{1})~et~(u_{2}, v_{2}, w_{2})\) ne sont pas proportionnels) ; de plus, ce plan contient tous les points communs à \(P_{1}~et~P_{2}\) , donc contient \(P_{1} \cap P_{2} = D\).

Réciproquement, soit\( P\) un plan qui contient \(D\). Prenons un point \(A(a, b, c)\) dans \(P \backslash D\). Les nombres \(u_{1}a + v_{1}b + w_{1}c~et~u_{2}a + v_{2}b + w_{2}c\)c ne sont pas tous deux nuls, car \(A \notin P_{1}\cap P_{2}\), donc l'équation à deux inconnues \(\alpha ~et ~\beta\) :

\(\alpha (u_{1}a + v_{1}b + w_{1}c - d_{1}) + \beta(u_{2}a + v_{2}b + w_{2}c - d_{2}) = 0\)

admet une solution autre que \((0, 0).\)

Alors, \((\alpha u_{1} + \beta u_{2})x + (\alpha v_{1} + \beta v_{2})y + (\alpha w_{1} + \beta w_{2})z = \alpha d_{1} + \beta d_{1}\) est l'équation d'un plan qui contient \(D~et~A\); ce plan est donc \(P\).

admet une solution autre que \((0, 0)\).

Alors, \((\alpha u_{1} + \beta u_{2})x + (\alpha v_{1} + \beta v_{2})y + (\alpha w_{1} + \beta w_{2})z = \alpha d_{1} + \beta d_{2}\) est l'équation d'un plan qui contient \(D ~et~ A\); ce plan est donc \(P\).

Définition

Soit \(P_{1}~et~P_{2}\) deux plans distincts, d'équations respectives \(\left(E_{1}\right) ~et ~\left(E_{2}\right)\).

On appelle faisceau de plans engendré par \(P_{1} ~et~ P_{2}\) l'ensemble des plans qui ont une équation de la forme \(\alpha\left(E_{1}\right)+ \beta\left(E_{2}\right)\).

Si \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont sécants, ce faisceau est l'ensemble des plans qui contient la droite \(P_{1} \cap P_{1}\).

Si les plans \(P_{1} ~et ~P_{2}\) sont parallèles, le faisceau est constitué des plans parallèles à \(P_{1}\) (et à\( P_{2}\)).

Dans les deux cas, \(P_{1}\) et \(P_{1}\) appartiennent bien entendu au faisceau.

Question : Comment pourrait-on définir des faisceaux de droites dans le plan rapporté à un repère (orthonormé) \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\) ? Quelles sortes de faisceaux de droites peut-on distinguer ?

Perpendiculaire commune à deux droites

On donne les deux droites :

\(D_{1}\left\{ \begin{array}{ccc} x+y-z &=&-2 \\ 3x+y+z &=& -4 \end{array} \right. ~~et ~~D_{2}\left\{ \begin{array}{ccc} x+y &=&4 \\ x+z &=&3 \end{array} \right.\)

On cherche une droite \(\Delta\) qui coupe \(D_{1}~et~D_{2}\) à angle droit. Pour cela, trouver un vecteur \(\vec{V_{1}}\) directeur de \(D_{1}\) , et un vecteur \(V_{2}\) directeur de \(D_{2}\) . En déduire un vecteur \(\vec{V}\) orthogonal à la fois à \(D_{1}\) et à \(D_{2}\) (c'est donc un vecteur directeur de la droite \(\Delta\) cherchée). Trouver alors l'équation implicite d'un plan \(P_{1}\) contenant \(D_{1}\) et parallèle à \(\vec{V}\), et celle d'un plan \(P_{2}\) contenant \(D_{2}\) et parallèle à \(\vec{V}\). Trouver une droite \(\Delta\) solution.

Y a-t-il plusieurs solutions ?

Chercher les points d'intersection de \(\Delta\) avec \(D_{1}\) et avec \(D_{2}\).

Quelle est la distance minimum d'un point de \(D_{1}\) à un point de \(D_{2}\) ?