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Faisceaux de plans

Considérons deux plans , d'équations respectives

sécants suivant une droite , et cherchons les plans qui contiennent .

Recherche des plans :

Si sont deux réels non tous deux nuls, l'équation

est l'équation d'un plan (les coefficients de ne sont pas tous nuls car les vecteurs ne sont pas proportionnels) ; de plus, ce plan contient tous les points communs à , donc contient .

Réciproquement, soit un plan qui contient . Prenons un point dans . Les nombres c ne sont pas tous deux nuls, car , donc l'équation à deux inconnues  :

admet une solution autre que

Alors, est l'équation d'un plan qui contient ; ce plan est donc .

admet une solution autre que .

Alors, est l'équation d'un plan qui contient ; ce plan est donc .

Définition

Soit deux plans distincts, d'équations respectives .

On appelle faisceau de plans engendré par l'ensemble des plans qui ont une équation de la forme .

Si et sont sécants, ce faisceau est l'ensemble des plans qui contient la droite .

Si les plans sont parallèles, le faisceau est constitué des plans parallèles à (et à ).

Dans les deux cas, et appartiennent bien entendu au faisceau.

Question : Comment pourrait-on définir des faisceaux de droites dans le plan rapporté à un repère (orthonormé) ? Quelles sortes de faisceaux de droites peut-on distinguer ?

Perpendiculaire commune à deux droites
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