Intersection de droites et plans
Introduction
Comme on sait maintenant passer d'un type d'équation (paramétrique ou implicite) à l'autre, nous n'envisagerons pas tous les cas possibles, mais seulement ceux qui se traitent le plus commodément. L'étudiant curieux parviendra sans trop de peine à faire la théorie des autres cas sans faire la conversion de type...
Attention :
Si les deux objets (droites ou plans) sont donnés chacun par un paramétrage, les paramètres n'ont a priori rien à voir entre eux.
Intersection d'une droite et d'un plan
Si la droite et le plan sont donnés par des équations implicites
Soit la droite D donnée par \(\left\{ \begin{array}{lcl} u ~x + v~y + w~z &=&d\\ u'x + v' y + w' z &=&d'\end{array}\right.\) et le plan P donné par \(u"x + v"y + w"z = d".\)
Il est clair que l'intersection est obtenue en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.
Si la droite est donnée sous forme implicite et le plan sous forme paramétrique
Soit la droite D donnée par \(\left\{ \begin{array}{lcl} u ~x + v~y + w~z &=&d\\ u'x + v' y + w' z &=&d'\end{array}\right.\) et le plan P donné par \(\left\{ \begin{array}{clc} x &=& a+\lambda u_{1}+\mu u_{2}\\ y &=& b+\lambda v_{1}+\mu v_{2} \\ z &=& c+\lambda w_{1}+\mu w_{2}\end{array}\right.\).En reportant dans les équations de la droite les valeurs de \(x, y ~et ~z\) en fonction des paramètres, on obtient un système de deux équations à deux inconnues \(\lambda ~et~ \mu\) qu'on résout.
Si la droite est donnée sous forme paramétrique et le plan sous forme implicite
Soit la droite \(D\) donnée par \(\left\{ \begin{array}{lcl} x &=& a+tu \\ y &=& b+tv \\ z &=& c+tw \end{array} \right.\) et le plan \(P\) donné par \(u'x + v'y + w'z = d'\).
On peut considérer l'intersection comme solution d'un système de 4 équations pour 4 inconnues \((x, y, z, t)\), et en choisissant bien les pivots, la résolution revient à remplacer dans l'équation de \(P\) les inconnues \(x, y, z\) par leur valeurs tirées du paramétrage de \(D.\) Cela donne une équation où il ne reste plus qu'une inconnue \(t\) ; on la résout ; si elle donne une solution unique pour \(t\), en reportant cette valeur dans les équations paramétriques de \(D\), on obtient les coordonnées \(x, y, z\) du point d'intersection, et sinon \(\ldots\)
Exemple :
chercher la projection orthogonale \(H\) du point \(A(1, 2, 3)\) sur le plan \(P\) d'équation \(2x + 3y - z = 7\)
Le vecteur \(\vec{V} = (2, 3, - 1)\) est orthogonal à \(P\) ; on peut donc paramétrer la perpendiculaire \(D\) issue de \(A\) à \(P\) par \(\overrightarrow{AM}=t~\vec{V}\), c'est-à-dire \(\left\{ \begin{array}{lcl} x &=&1+2t \\ y &=& 2+3t\\ z &=& 3-t \end{array} \right.\).
En reportant dans l'équation de \(P\), on trouve \(2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) - (3 - t) = 7\), qui donne \(t = \frac{1}{7}\) . Avec les équations de \(D\) on en tire les coordonnées de \(H : ~x = \frac{9}{7},~~ y = \frac{9}{7}, ~~z = \frac{20}{7}\).
Pour le même prix, on obtient le symétrique \(B\) de \(A\) par rapport à \(P\) : il suffit de multiplier la valeur de \(t\) trouvée ci-dessus par 2 avant de reporter dans les équations paramétriques de \(D\). Pourquoi ? penser à ce que représente \(t\) dans l'écriture \(\overrightarrow{AM}=t~\vec{V}\).
Intersection de deux plans
Si les deux plans sont donnés par des équations implicites Sans commentaire !
Si un plan est donné par une équation implicite et l'autre par des équations paramétriques
Deux possibilités :
se ramener au cas précédent grâce à un passage paramétrique\(\longrightarrow\) implicite, pour obtenir deux équations implicites pour la droite d'intersection (si les plans sont sécants) ;
reporter dans l'équation implicite \(x, y, z\) tirés du paramétrage, ce qui donne une équation entre les deux paramètres ; si les plans n'ont pas même direction, cette équation permettra de calculer un paramètre en fonction de l'autre, et en reportant dans les équations paramétriques, on obtiendra un paramétrage de la droite d'intersection.
Si les deux plans sont données par des équations paramétriques, prendre garde à bien utiliser quatre paramètres distincts ; on a alors trois équations liant ces paramètres et on résout le système qui fournit trois des paramètres en fonction du quatrième\(\ldots\)
Intersection de deux droites
Intersection de deux droites
Si les deux droites sont données sous forme implicites, il s'agit de résoudre un système de 4 équations pour 3 inconnues.
Si les deux droites sont données sous forme paramétrique, (il faut prendre garde à bien utiliser deux paramètres distincts), il s'agit de résoudre un système de 3 équations pour 2 inconnues.
Si une des droites est donnée par des équations implicites, l'autre par un paramétrage, comme les fois précédentes, on tire x, y, z du paramétrage pour reporter dans les équations implicites ; on obtient donc 2 équations pour 1 inconnue (le paramètre)\(\ldots\)