Droites et plans

Soit \(D\) une droite définie par des équations implicites

\(\left\{ \begin{array}{lll} u_{1} x + v_{1} y + w_{1} z &=&d_{1}\\ u_{2} x + v_{2} y + w_{2} z&=&d_{2}\end{array}\right.\)

On cherche des équations paramétriques de\(D\). Il suffit de considérer ce système comme un système de 2 équations pour 3 inconnues \((x, y, z)\), et de le résoudre ; on trouvera les trois inconnues en fonction d'une d'entre elles qui jouera le rôle de paramètre.

Exemple : la droite \(D\) est définie par \(\left\{ \begin{array}{lll} x+2y+3z &=& 5 \\ 2x-2y+2z &=&3 \end{array}\right.\)

La triangulation donne

\(\begin{array}{ccc|c} x & y & z \\ \hline 1&2 &3&5\\ 0&-5&-4&-7 \end{array}\)

D'où le paramétrage de \(D\) : \(\left\{ \begin{array}{lcl} x &=& \frac{11}{5}-\frac{7}{5}z \\\\ y &=&\frac{7}{5}+\frac{4}{5}z \\\\ z &=& z\end{array} \right.\)

Bien entendu, dans les seconds membre, on peut remplacer la notation \(z\) par une autre (\(t\) par exemple).

Supposons maintenant\(D\)donnée par des équations paramétriques

\(\left\{ \begin{array}{lcl} x &=& a+tu \\ y &=& b+tv \\ z &=& c+tw \end{array} \right.\)

et cherchons des équations implicites de \(D\). Il suffit de considérer ce système comme un système de 3 équations à 1 inconnue \((t)\) et à chercher la condition pour que ce système ait des solutions ; pratiquement on trouvera deux conditions, portant sur les paramètres \(x, y, z\), et qui seront les équations implicites cherchées.

Exemple : soit D donnée par \(\left\{ \begin{array}{lcl} x &=&3+2t \\ y &=& 2-t \\ z &=& 1+t \end{array} \right.\)

La triangulation du système en t donne

\(\begin{array}{l|l} t \\ \hline 1& z-1 \\ 0&y+z-3 \\ 0&x-2z-1 \end{array}\)

Le système est possible si et seulement si \(y + z - 3 = 0 ~et ~x - 2z - 1 = 0\) ; les équations cherchées sont donc \(y + z = 3~et~x - 2z = 1\).