Détermination d'une droite

Détermination d'une droite par deux plans

Soit \(P_{1}~et~P_{2}\) deux plans d'équations implicites respectives \(u_{1} x + v_{1} y + w_{1} z = d_{1}~~et~~u_{2} x + v_{2} y + w_{2} z = d_{2}\) ; si ces plans ont des directions différentes, c'est-à-dire si les vecteurs normaux \((u_{1}, v_{1}, w_{1})~~et~~(u_{2}, v_{2}, w_{2})\) sont non colinéaires, l'intersection \(P_{1} \cap P_{2}\) est une droite \(D\), qui est donc déterminée par un système de deux équations implicites :

\(\left\{ \begin{array}{lll} u_{1} x + v_{1} y + w_{1} z &=&d_{1}\\ u_{2} x + v_{2} y + w_{2} z&=&d_{2}\end{array}\right.\)

Détermination d'une droite par un point et un vecteur directeur

Soit \(A(a, b, c)\) un point et \(\vec{V}(u, v, w)\) un vecteur non nul. Notons\( D\) la droite passant par \(A\) et dirigée suivant \(\vec{V}\). Un point M(x, y, z) appartient à D si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AM}~et~\vec{V}\) sont colinéaires. Comme \(\vec{V}\neq\vec{0}\), on obtient :

\(M \in D \Leftrightarrow\exists t \in \mathbb{R},~~ \overrightarrow{AM}=t\vec{V}\)

En décomposant suivant les axes de coordonnées, on trouve des équations paramétriques de \(D\) :

\(\left\{ \begin{array}{lcl} x &=& a+tu \\ y &=& b+tv \\ z &=& c+tw \end{array} \right.\)