Intégrale de Riemann

La règle de Bioche conduit , par exemple, à poser le changement de variable \(u = \tan t\) (en fait \(\cos t\) et \(\sin t\) conviennent également).

L'intégrale devient alors :

\(\displaystyle{\int_0^1\frac{u^3}{1+u^2}du=\int_0^1(u-\frac{u}{1+u^2})du=[\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(1+u^2)]_0^1=\frac{1-\ln2}{2}}\)

La règle de Bioche conduit à poser le changement de variable \(u = \cos t\) en fait la connaissance des formules de trigonométrie permet d'améliorer et de poser \(u = \cos2t\) car

\(\displaystyle{\sin^3t\cos t=\frac{\sin2t\sin^2t}{2}=\frac{\sin2t(1-\cos2t)}{4}}\) d'où

\(\displaystyle{I=-\frac{1}{8}\displaystyle{\int_1^0\frac{1-u}{1+u^2}du=\frac{1}{8}[\arctan u-\frac{1}{2}\ln(1+u^2)]_0^1=\frac{\pi}{32}-\frac{\ln2}{16}}}\)

La règle de Bioche ne donne rien ici ; faut-il se résoudre pour autant à utiliser le changement de variable \(\displaystyle{u = \tan(t/2)}\) ? Deux stratégies ”astuce” sont envisageables.

La première est basée, encore une fois, sur une bonne utilisation des formules trigonométriques :

\(\displaystyle{\sin t+\cos t=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t)=\sqrt{2}(\sin(t+\frac{\pi}{4}))}\)

Ainsi l'intégrale devient :

\({\frac{1}{\sqrt{2}}\displaystyle{\int_0^{\pi/4}\frac{\sin t}{\sin(t+\frac{\pi}{4})}dt=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\sin(u-\frac{\pi}{4})}{\sin u}du=\frac{1}{2}\int_{\pi/4}^{\pi/2}(1-\frac{\cos u}{\sin u})du=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}[\ln(\sin u)]_{\pi/4}^{\pi/2}}}\)

d'où le résultat :

\(\displaystyle{\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln2}\).

 La seconde stratégie ”astuce” est très économe en intégration.

À l'intégrale \(I=\displaystyle{\int_0^{\pi/4}\frac{\sin t}{\sin t+\cos t}dt}\) on associe \(J=\displaystyle{\int_0^{\pi/4}\frac{\cos t}{\cos t+\sin t}dt}\)

 On a d'une part : \(I+J=\displaystyle{I+J=\int_0^{\pi/4}dt=\frac{\pi}{4}}\)

et d'autre part \(J-I=\displaystyle{\int_0^{\pi/4}\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}dt}\)

 Cette dernière intégrale est de la forme

\(\displaystyle{\int_0^{\pi/4}\frac{u'(t)}{u(t)}dt\textrm{ avec } u(t)=\cos t+\sin t}\) d'où :

\(J=\displaystyle{\int_1^{\sqrt{2}}\frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln2}\). On en déduit :

\(\displaystyle{I=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln2}\)