Exercice n°6

Partie

Question

On définit, pour tout entier n > 0 et tout x > 0 :

\(\phi_n(x)=\displaystyle{\int_1^x\ln^ntdt}\)

Déterminer une relation de récurrence entre les fonctions \(\displaystyle{\phi_n\textrm{ et }\phi_{n-1}}\). Donner l'expression de \(\displaystyle{\phi_n\textrm{ pour }n=1,2,3}\)

Aide méthodologique

Intégration par parties

Solution détaillée

On pose :

\(\displaystyle{f(t)=\ln^nt\textrm{ et }g'(t)=1\textrm{ d'où }f'(t)=\frac{n\ln^{n-1}(t)}{t}\textrm{ et }g(t)=t}\)

. On a :

\(\displaystyle{\phi_n(x)=x\ln^nx-n\int_1^x\ln^{n-1}tdt=x\ln^nx-n\phi_{n-1}(x)}\)

On en déduit, à partir de \(\displaystyle{\phi_1(x)=x\ln x-x+1}\),

\(\displaystyle{\phi_2(x)=x\ln^2x-2x\ln x-2x+2 \textrm{ et }\phi_3(x)=x\ln^3x-3x\ln^2x-6x\ln x-6x+6}\).