Exercice 2
Partie
Question
Montrer que les fonctions F et G définies par :
\(F(x)=\displaystyle{\int_0^x\frac{dt}{2+\sin(t^2)}\textrm{ et }G(x)=\int_{3x}^{\sin(4x)}\cos(t^3)dt}\)
sont dérivables sur\(\mathbf R\) et calculer leurs dérivées.
Solution détaillée
II. Fonction \(F\) :
La fonction \(F\) est définie pour tout \(x\) réel et
\(F'(x)=\frac{1}{2+\sin(x^2)}\)
Fonction \(G\) :
La fonction \(G\) est définie pour tout \(x\) réel et on peut écrire \(G(x)=\displaystyle{\int_0^{\sin4x}\cos(t^3)dt-\int_0^{3x}\cos(t^3)dt}\).
On pose alors \(H(x)=\displaystyle{\int_0^x\cos(t^3)dt\textrm{ d'où }H'(x)=\cos(x^3)}\).
La fonction \(G\) s'exprime alors sous la forme :
\(G(x)=H(\sin(4x))-H(3x)\), l'expression de sa dérivée est donc
\(G'(x)=4\cos(4x)H'(\sin(4x))-3H'(3x)=4\cos(4x)\cos(\sin^3(4x))-3\cos(27x^3)\) .