Exercice 5

Partie

On considère les fonctions F et G définies sur R par :

\(F(x)=\displaystyle{\int_0^x\frac{\textrm{e}^t+1}{(t^2+1)\textrm{e}^t+1}dt\textrm{ et }G(x)=\int_0^{x^2}\frac{t^2\textrm{e}^t}{(t^2+1)\textrm{e}^t+1}dt}\)

Question

1. Montrer que les fonctions \(F\) et \(G\) sont dérivables sur \(\mathbf R\) et déterminer \(F'\) et \(G'\).

Solution détaillée

1. On pose, pour tout \(x\) réel,

\(\displaystyle{f(x)=\frac{\textrm{e}^x+1}{(x^2+1)\textrm{e}^x+1}\textrm{ et }g(x)=\frac{x^2\textrm{e}^x}{(x^2+1)\textrm{e}^x+1}}\)

Les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur \(\mathbf R\), les fonctions \(F\) et \(G\) sont de classe \(C^1\). On a

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbf R\;F'(x)=f(x)=\frac{\textrm{e}^x+1}{(x^2+1)\textrm{e}^x+1}}\)

et si l'on pose \(H(x)=\displaystyle{\int_0^xg(t)dt}\),

\(\displaystyle{H'(x)=g(x)\textrm{ d'où }G'(x)=2xH'(x^2)=2xg(x^2)=\frac{2x^5\textrm{e}^{x^2}}{(x^4+1)\textrm{e}^{x^2}+1}}\)

.

Question

2. Montrer que \(F\) est croissante et admet une limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) .

Solution détaillée

2. On a, , \(\displaystyle{\forall x\in\mathbf R\;F'(x)>0}\), la fonction \(F\) est croissante. Quand \(x\) tend vers \(+\infty\)

  • ou \(F\) a une limite

  • ou F tend vers \(+\infty\) .

    Pour montrer que \(F\) a une limite il suffit de montrer qu'elle est bornée.

    Pour tout \(x>0\) et tout \(t\) dans \([0,x]\) on a

    \(\displaystyle{\textrm{e}^t+1\leq2\textrm{e}^t\textrm{ et }(t^2+1)+1\geq\textrm{e}^t(t^2+1)}\)

    d'où

    \(\displaystyle{\frac{\textrm{e}^t+1}{\textrm{e}^t(t^2+1)+1}\leq\frac{2}{1+t^2}}\)

    On en déduit \(\forall x\geq0\;F(x)\leq2\displaystyle{\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=2\arctan x\leq\pi}\)

Question

3. Montrer que :

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbf R\;G(x)+F(x^2)=x^2}\)

la fonction \(G\) a-t-elle une limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ?

Solution détaillée

3. On a : \(G(x)+F(x^2)=\displaystyle{\int_0^{x^2}\frac{t^2\textrm{e}^t+\textrm{e}^t+1}{(t^2+1)\textrm{e}^t+1}dt=\int_{0}^{x^2}dt=x^2}\), on en déduit

\(G(x)=x^2-F(x^2)\).

 D'où \(G(x)\to+\infty\) quand \(x\to\infty\).

Question

4. Déterminer le développement limité de \(G\) à l'ordre \(9\) au voisinage de \(0\).

Solution détaillée

4. Pour obtenir le développement limité de la fonction \(G\) au voisinage de \(0\) à l'ordre \(9\) on détermine le développement limité de \(G'\) à l'ordre \(8\).

Compte tenu de l'expression de \(G'(x)=2x^5\frac{\textrm{e}^{x^2}}{1+(1+x^4)\textrm{e}^{x^2}}\),

on détermine le d.l. du numérateur et du dénominateur à l'ordre \(3\).

On a : \(\textrm{e}^{x^2}=1+x^2+x^3\theta_1(x)\textrm{ et }1+(1+x^4)\textrm{e}^{x^2}=2+x^2+x^3\theta_2(x)\)

 On a donc

\(G'(x)=x^5+\frac{x^7}{2}+x^8\theta_3(x)\textrm{ et }\)

et

\(G(x)=\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{16}+x^9\theta_4(x)\)

avec \(\displaystyle{\lim_{x\to0}\theta_i(x)=0\;(i=1,2,3,4)}\)