Fractions et fonctions rationnelles
Définition :
Étant donné une fraction rationnelle irréductible
\(\displaystyle{\frac{P}{Q}\textrm{ avec }P\in\mathbf R[X],Q\in\mathbf R[X]-\{0\}}\)
la fonction numérique \(f\) définie, pour tout \(x\) réel tel que \(Q(x)\) soit non nul, par \(\displaystyle{f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}}\) est appelée fonction rationnelle.
Ainsi à la fraction rationnelle \(\displaystyle{\frac{1}{(X+1)(X^2+1)}}\) on associe la fonction rationnelle \(\displaystyle{x\to\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}}\) définie sur les intervalles \(]-\infty, -1[\) et \(]-1,+\infty[\).
La décomposition de \(P/Q\) en éléments simples (cf Algèbre) fait intervenir
la partie entière polynomiale \(E\in\mathbf R[X]\),
des éléments de la forme \(\displaystyle{\frac{A}{(X-\alpha)^{r}}\textrm{ avec }A\in R,\alpha\in R,r\in N^{\ast}}\),
des éléments de la forme \(\displaystyle{\frac{BX+C}{(X^2+pX+q)^s}\textrm{ avec }B,C,p\textrm{ et }q\textrm{ réels },p^2-4q<0,s\in N^*}\).
Ainsi, on a :
\(\displaystyle{\frac{1}{(X+1)(X^2+1)}=\frac{1}{2(X+1)}+\frac{-X+1}{2(X^2+1)}}\), d'où
\(\displaystyle{\forall x\neq-1,\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{1}{2(x+1)}+\frac{-x+1}{2(x^2+1)}}\)
Le calcul avec Maple
Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.
On rentre la fraction :
> 1/((x+1)*(x^2+1)) ;
\(\displaystyle{\frac{1}{(x + 1)(x^2 + 1)}}\)
La commande est 'convert' avec le paramètre 'parfrac' et on indique la variable par à rapport à laquelle on décompose.
Maple V.5 utilise % pour rappeler le résultat précédent. En Maple V.4 c'est " qu'il faut utiliser.
> convert(%,parfrac,x) ;
\(\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)} -\frac{1}{2}\frac{x - 1}{x^2 + 1}}\)