Calcul pratique d'intégrales

Le calcul d'une intégrale \(\displaystyle{\int_a^bR(t)dt}\) où \(R\) est une fonction rationnelle qui n'a aucun pôle dans l'intervalle \([a, b]\) comporte des calculs des types suivants:

• \(\displaystyle{\int_a^bE(t)dt}\) où \(E\) est une fonction polynomiale,

• \(\displaystyle{\int_a^b\frac{dt}{(t-\alpha)^r},r\in N^*}\),

• \(\displaystyle{\int_a^b\frac{tdt}{(t^2+pt+q)^s}\textrm{ et }\int_a^b\frac{dt}{(t^2+pt+q)^s},p^2-4q<0}\).

Les deux premiers ne posent aucun problème. Pour résoudre les deux autres, qui présentent au dénominateur un trinôme du second degré sans racine réelle, on commence, suivant une démarche très fréquente dans ce cas à mettre le trinôme sous forme canonique; ainsi

\(\displaystyle{t^2+pt+q=\left(t+\frac{p}{2}\right)^2+q-\frac{p^2}{4}}\)

En posant alors :

\(\displaystyle{q-\frac{p^2}{4}=\lambda^2\textrm{ et }t+\frac{p}{2}=\lambda u}\)

le changement de variable ainsi défini conduit à se ramener à des calculs d'intégrales du type :

\(\displaystyle{\int_a^b\frac{udu}{(u^2+1)^s}\textrm{ et }\int_a^b\frac{du}{(u^2+1)^s},s\in N^*}\)

Or nous avons déjà rencontré des intégrales de ces deux types :

• le calcul de \(\displaystyle{\int_a^b\frac{udu}{(u^2+1)^s},s\in N^*}\) se fait en remarquant que le numérateur est au facteur \(1/2\) près la dérivée de \((u^2 + 1)\).

• celui de \(\displaystyle{\int_a^b\frac{du}{(u^2+1)^s},s\in N^*}\) a été fait en application de la méthode d'intégration par parties, par récurrence.

Rassurez vous, on n'a pas l'habitude de demander de calculer : \(\displaystyle{\int_0^1\frac{dt}{(t^2+1)^{25}}}\). Le calcul est très ennuyeux bien avant 25!