Théorème général
L'étude repose sur le théorème relatif aux intégrales impropres de la forme \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\) que nous rappelons ici. C'est ce théorème qui permet d'établir le critère de Cauchy pour les intégrales impropres.
Théorème :
Soit \(f\) une fonction localement intégrable sur un intervalle \([a,+\infty[\). Pour que l'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\) soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute suite \((x_n)\) qui tend vers \(+\infty\), la suite \((\mathcal F(x_n))\) définie par \(\displaystyle{\mathcal F(x_n)=\int_a^{x_n}f(t)dt}\) soit convergente. On a alors :
\(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt=\lim_{n\to+\infty}\mathcal F(x_n)}\).
Théorème : Théorème A
L'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\) est convergente si et seulement si, pour toute suite\( (x_n)\) qui tend vers \(+\infty\), la série de terme général \(\displaystyle{\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(t)dt}\) est convergente.
Preuve :
On raisonne directement par équivalence en utilisant le critère de Cauchy pour les suites et les séries.
Complément : Détail de la preuve
On pose \(\displaystyle{v_n=\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(t)dt}\). D'après le théorème rappelé ci-dessus, l'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{+\infty}}f(t)dt\) est convergente si et seulement si pour toute suite \((x_n)\) qui tend vers \(+\infty\), la suite \((\mathcal F(x_n))\) définie par \(\displaystyle{\mathcal F(x_n)=\int_a^{x_n}f(t)dt}\) est convergente, soit encore si et seulement si la suite \((\mathcal F(x_n))\) est de Cauchy.
Or on a, pour \(\displaystyle{p> m :\mathcal F(x_p)-\mathcal F(x_m)=\int_{x_m}^{x_0}f(t)dt=\sum_{k=m}^{n-1}v_k}\).
L'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\) est convergente si et seulement si la série \(\sum v_n\) satisfait au critère de Cauchy, soit encore si et seulement si la série \(\sum v_n\) est convergente.
Remarque : Remarque fondamentale
Ce théorème permet de montrer :
La divergence d'une intégrale : il suffit de trouver une suite particulière, telle que la série associée soit divergente.
La convergence ou la divergence d'une série : on peut retrouver ainsi les résultats concernant la convergence des séries de Riemann en associant à la série \(\displaystyle{\sum_{n\ge q1}\frac{1}{n^s}}\) la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x^s}}\), définie sur l'intervalle .
En revanche, on ne montre pas en général la convergence d'une intégrale par cette méthode : il faudrait en effet considérer toutes les suites \((x_n)\) qui tendent vers \(+\infty\).
Exemple :
On peut retrouver ainsi le fait que l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt}\) n'est pas absolument convergente.
Complément : Détail
On a en effet si
\(\displaystyle{(x_n)=(n\pi),\quad v_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\vert\sin t\vert}{t}dt\ge q\frac{1}{(n+1)\pi}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\vert\sin t\vert dt=\frac{2}{(n+1)\pi}}\)
et \(v_n\) est donc le terme général d'une série divergente.