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Théorème général

L'étude repose sur le théorème relatif aux intégrales impropres de la forme que nous rappelons ici. C'est ce théorème qui permet d'établir le critère de Cauchy pour les intégrales impropres.

Théorème

Soit une fonction localement intégrable sur un intervalle . Pour que l'intégrale soit convergente, il faut et il suffit que, pour toute suite qui tend vers , la suite définie par soit convergente. On a alors :

.

Théorème : Théorème A

L'intégrale est convergente si et seulement si, pour toute suite qui tend vers , la série de terme général est convergente.

Preuve

On raisonne directement par équivalence en utilisant le critère de Cauchy pour les suites et les séries.

Complément : Détail de la preuve

On pose . D'après le théorème rappelé ci-dessus, l'intégrale est convergente si et seulement si pour toute suite qui tend vers , la suite définie par est convergente, soit encore si et seulement si la suite est de Cauchy.

Or on a, pour .

L'intégrale est convergente si et seulement si la série satisfait au critère de Cauchy, soit encore si et seulement si la série est convergente.

Remarque : Remarque fondamentale

Ce théorème permet de montrer :

  • La divergence d'une intégrale : il suffit de trouver une suite particulière, telle que la série associée soit divergente.

  • La convergence ou la divergence d'une série : on peut retrouver ainsi les résultats concernant la convergence des séries de Riemann en associant à la série la fonction , définie sur l'intervalle .

En revanche, on ne montre pas en général la convergence d'une intégrale par cette méthode : il faudrait en effet considérer toutes les suites qui tendent vers .

Exemple

On peut retrouver ainsi le fait que l'intégrale n'est pas absolument convergente.

Complément : Détail

On a en effet si

et est donc le terme général d'une série divergente.

Légende :
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