Relation entre la convergence des intégrales et des séries

Soit \(f\) une fonction positive décroissante définie sur \([a,+\infty[\). L'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\) est convergente si et seulement si la série \(\displaystyle{\sum f(n)}\) est convergente.

On pose :\( \displaystyle{\forall n> a,u_n=f(n)}\) et \(\displaystyle{v_n=\int_n^{n+1}f(t)}dt\)

La décroissance de la fonction \(f\) entraîne, pour\( n> a\), les inégalités :

\(\displaystyle{u_{n+1}=f(n+1)\leq v_n+\leq f(n)=u_n}\)

Condition nécessaire

Si l'intégrale est \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\)  convergente, alors, d'après le théorème \(\mathcal A\), la série de terme général \(v_n\) est convergente, et les inégalités ci-dessus entraînent la convergence de la série de terme général \(u_n\).

Condition suffisante

Si la série de terme général \(u_n\) est convergente, les inégalités précédentes entraînent la convergence de la série de terme général \(v_n\) et, d'après le théorème \(\mathcal B\), l'intégrale est convergente.

On suppose par exemple a entier, et on pose :

À partir des inégalités :\(\displaystyle{\forall k\ge a,f(k+1)\leq v_k\leq f(k)}\) , on obtient, en les additionnant membre à membre, pour :\(\displaystyle{k\in\{a,a+1,\cdots,n\} :\sum_{k=a+1}^{n+1}u_k\leq\int_{a}^{n+1}f(t)dt\leq\sum_{k=a}^{n}u_k}\) . En notant \((\mathcal s_n)_{n\ge a}\) la suite des sommes partielles de la série de terme général \(u_n(n\ge a)\), cela s'écrit :

\(\displaystyle{\forall n\ge a,\mathcal s_{n+1}-u_a\leq\int_a^{n+1}f(t)dt\leq\mathcal s_n}\)

Si l'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\) est convergente, alors la suite croissante\( (\mathcal s_n)\) est majorée et donc convergente : la série de terme général \(u_n\) est convergente.

Si la série de terme général \(u_n\) est convergente, notons \(s\) sa somme, c'est-à-dire la limite de la suite croissante \(\displaystyle{(\mathcal s_n)_{n\ge a}}\). Alors, pour \(x\ge a\), on a, en désignant par \(n\) la partie entière de \(x\) :

\(\displaystyle{\int_a^nf(t)dt\leq\mathcal F(x)=\int_a^xf(t)dt\leq\int_a^{n+1}f(t)dt\leq\mathcal s_n\leq\mathcal s}\)

Ainsi la fonction \(\mathcal F\), qui est croissante, est majorée et a donc une limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\). L'intégrale est convergente.