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Cas des fonctions positives et décroissantes
Théorème : Théorème C

Soit une fonction positive décroissante définie sur . L'intégrale est convergente si et seulement si la série est convergente.

Preuve : Preuve utilisant les théorèmes A et B

On pose : et

La décroissance de la fonction entraîne, pour , les inégalités :

Condition nécessaire

Si l'intégrale est   convergente, alors, d'après le théorème , la série de terme général est convergente, et les inégalités ci-dessus entraînent la convergence de la série de terme général .

Condition suffisante

Si la série de terme général est convergente, les inégalités précédentes entraînent la convergence de la série de terme général et, d'après le théorème , l'intégrale est convergente.

Preuve : Preuve directe

On suppose par exemple a entier, et on pose :

et

À partir des inégalités : , on obtient, en les additionnant membre à membre, pour : . En notant la suite des sommes partielles de la série de terme général , cela s'écrit :

Si l'intégrale est convergente, alors la suite croissante est majorée et donc convergente : la série de terme général est convergente.

Si la série de terme général est convergente, notons sa somme, c'est-à-dire la limite de la suite croissante . Alors, pour , on a, en désignant par la partie entière de :

Ainsi la fonction , qui est croissante, est majorée et a donc une limite quand tend vers . L'intégrale est convergente.

Légende :
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