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Relation d'équivalence
Définition

On dit qu'une relation est une relation d'équivalence si elle est :

Dans le cas d'une relation d'équivalence, deux éléments en relation sont aussi dits équivalents.

Exemple
  1. Sur tout ensemble, l'égalité de deux éléments.

  2. Sur l'ensemble des droites (du plan ou de l'espace), la relation " droites parallèles ou confondues " .

  3. Sur l'ensemble des bipoints du plan (ou de l'espace), la relation d'équipollence.

  4. Pour les angles du plan, la relation de congruence modulo

  5. Dans la relation si est divisible par l'entier

  6. Dans

  7. Dans

Définition : Classe d'équivalence

Étant donné un ensemble muni d'une relation d'équivalence on appelle classe d'un élément l'ensemble :

Propriété

Toute classe d'équivalence contient au moins un élément. En effet, puisque tout élément est équivalent à lui-même, la classe de contient au moins l'élément

Théorème

Soient les classes et de deux éléments et Ces classes sont disjointes ou sont confondues.

Démonstration
  • cas : Les deux classes sont disjointes.

  • cas : Soit On a et donc on a et et par transitivité On en conclut que est dans la classe de : Montrons que la classe de est contenue dans celle de Soit On a et et donc par transitivité. C'est-à-dire et donc De la même façon, on montre Donc les deux classes et sont confondues.

Définition : Représentant d'une classe

est la classe d'équivalence de tout élément de En effet, si et appartiennent à la classe de alors leurs classes sont confondues avec celle de Ceci justifie d'appeler tout élément d'une classe représentant de cette classe.

Partition d'un ensemble

L'ensemble est partagé en une réunion disjointe de classes.

Les classes forment une partition de l'ensemble :

  • Chaque élément de appartient à une classe au moins

  • Chaque élément de appartient à une seule classe.

Exemple
  1. pour l'égalité.

  2. Relation de parallélisme sur les droites du plan : si est une droite, sa classe d'équivalence est par définition la direction de

  3. Relation d'équipollence sur les bipoints : la classe d'équivalence est par définition le vecteur libre

  4. Pour les angles du plan, la classe d'équivalence d'un angle par la relation de congruence modulo est l'angle lui-même modulo

  5. Pour la congruence modulo les classes d'équivalence sont représentées par

  6. La classe de est par définition le nombre relatif

  7. La classe de est par définition le nombre rationnel

Légende :
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