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Relation d'ordre
Définition

Soit un ensemble. Une relation binaire dans est une relation d'ordre si elle est :

  • réflexive :

  • antisymétrique :

  • transitive :

Exemple
  • La relation d'ordre sur les nombres réels.

  • La relation d'ordre sur les nombres réels.

  • La relation d'inclusion sur les parties d'un ensemble.

Remarque : Notation

Par analogie avec la relation d'ordre sur les nombres, on note souvent les relations d'ordre avec le symbole

Attention

La relation sur n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas réflexive.

On dit cependant quelquefois que c'est une relation d'ordre strict, ce qui est dangereux puisque ce n'est pas une relation d'ordre. Même problème pour l'inclusion stricte des ensembles.

Définition : Ordre total

La relation d'ordre sur les nombres est une relation d'ordre total. En effet deux éléments sont toujours comparables. Étant donnés deux nombres réels et on a toujours ou

La relation d'inclusion entre sous-ensembles d'un ensemble n'est pas une relation d'ordre total sur Il existe des ensembles tel que le premier ne soit pas inclus dans le second, ni le second inclus dans le premier. Par exemple et pour des intervalles de

Définition : majorant

Soit un ensemble muni d'une relation d'ordre notée et un sous-ensemble de

On dit qu'un élément est un majorant de s'il est plus grand que tous les éléments de

Si est un majorant de tout élément plus grand que est aussi un majorant.

Définition : minorant

On dit qu'un élément est un minorant de s'il est plus petit que tous les éléments de

Si est un minorant de tout élément plus petit que est aussi un minorant.

Définition : ensemble majoré

On dit qu'un sous-ensemble de ensemble ordonné est majoré s'il possède un majorant.

(d'après les règles d'usage des quantificateurs)

Définition : ensemble minoré

Un sous-ensemble d'un ensemble ordonné est minoré s'il possède un minorant.

Définition : ensemble borné

Un sous-ensemble d'un ensemble ordonné est borné si il possède à la fois un majorant et un minorant, c'est-à-dire s'il est à la fois majoré et minoré.

Définition : plus grand élément

Soit un ensemble muni d'une relation d'ordre notée et un sous-ensemble de

On dit qu'un élément est le plus grand élément de si c'est un majorant de c'est-à-dire si il est plus grand que tous les éléments de

On définit de la même façon

plus petit élément de :

Unicité du plus grand élément

Nous avons mis le plus grand élément de car il est facile de voir que si nous supposons dans deux tels éléments et on a et et donc d'après l'antisymétrie de la relation d'ordre,

Si un majorant de appartient à alors c'est le plus grand élément de

Un sous-ensemble majoré peut ne pas avoir de plus grand élément. Par exemple, l'ensemble des nombres rationnels inférieurs à est majoré par exemple par mais il n'a pas de plus grand élément.

Définition

Soit un ensemble ordonné et un sous-ensemble de On suppose que est majoré.

Si l'ensemble des majorants de admet un plus petit élément, il est appelé borne supérieure de et noté

Définition

Soit un ensemble ordonné et un sous-ensemble de On suppose que est minoré.

Si l'ensemble des minorants de admet un plus grand élément il est appelé borne inférieure de et est noté

Il est facile de montrer les implications suivantes qui résultent simplement des définitions.

Propriété

Soit un ensemble ordonné et un sous-ensemble de

  • Si admet un plus grand élément alors est la borne supérieure de

  • Si admet une borne supérieure alors est un majorant de

  • Si a une borne supérieure qui appartient à alors c'est aussi le plus grand élément de

  • Si admet un plus petit élément alors est la borne inférieure de

  • Si admet une borne inférieure alors est un minorant de

  • Si a une borne inférieure qui appartient à alors c'est aussi le plus petit élément de

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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