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Application croissante entre ensembles ordonnés
Définition : Application croissante

Soient et deux ensembles ordonnés et une application de dans

est croissante si deux éléments et leurs images sont rangés dans le même ordre. Cela se traduit formellement par

Définition : Application décroissante

est décroissante si deux éléments et leurs images sont rangés dans l'ordre contraire. Cela se traduit formellement par

Définition : Application monotone

est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante. Cela se traduit formellement par

ou

Remarque

Attention à l'écriture précédente. Si on est tenté de "mettre en facteur les quantificateurs", un peu de réflexion peut vous persuader que l'écriture suivante est vraie pour toutes les applications d'un ensemble ordonné dans un ensemble totalement ordonné

Définition : Fonction strictement croissante

 Si on veut exclure qu'une fonction croissante prenne deux fois la même valeur, on utilise la notion de fonction strictement croissante :

Définition : Fonction strictement d&croissante

On définit de la même façon une fonction strictement décroissante

Définition : Fonction strictement monotone

On définit de la même façon une fonction strictement monotone, ce qui signifie que est strictement croissante ou que est strictement décroissante.

Remarque

Une fonction constante est une fonction croissante. Ceci n'est pas paradoxal, car il faut se souvenir que les inégalités écrites sont des inégalités larges.

Attention

Méfiez vous du langage. Le contraire de est croissante" n'est pas est décroissante".

Comment écrire que n'est pas croissante ?

Pour écrire que n'est pas croissante, utilisons le formalisme et prenons la négation de

On obtient :

La donnée d'un couple bien choisi et de ses images donne la non-croissance de

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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