Conséquences sur l'ensemble des polynômes de degré inférieur à n, n entier supérieur ou égal à 1
Il résulte immédiatement de tout ce qui précède le théorème suivant :
Théorème :
Structure de \(K_n[X]\)
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 1. L'ensemble \(K_n[X]\) constitué du polynôme nul et des polynômes non nuls, à coefficients dans \(K\) et de degré inférieur ou égal à \(n\), est un sous-espace vectoriel de \(K[X]\).
De plus \((1,X,X^2,\ldots,X^n)\) est une base de \(K_n[X]\), qui est donc un espace de type fini, dont la dimension est égale à \(n+1\).
Ce résultat est extrêmement utile dans la pratique.
Les principales étapes de sa démonstration sont :
\(K_n[X]\) est un sous-espace vectoriel de \(K[X]\) grâce aux propriétés du degré.
\({1,X,X^2,\ldots,X^n}\) est un système de générateurs de \(K_n[X]\) par la définition même des polynômes et des opérations addition et produit par un scalaire.
\({1,X,X^2,\ldots,X^n}\) est une famille libre grâce à l'unicité de l'écriture du polynôme nul.