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Conséquences sur l'ensemble des polynômes de degré inférieur à n, n entier supérieur ou égal à 1

Il résulte immédiatement de tout ce qui précède le théorème suivant :

Théorème

Structure de

Soit un entier supérieur ou égal à 1. L'ensemble constitué du polynôme nul et des polynômes non nuls, à coefficients dans et de degré inférieur ou égal à , est un sous-espace vectoriel de .

De plus est une base de , qui est donc un espace de type fini, dont la dimension est égale à .

Ce résultat est extrêmement utile dans la pratique.

Les principales étapes de sa démonstration sont :

  • est un sous-espace vectoriel de grâce aux propriétés du degré.

  • est un système de générateurs de par la définition même des polynômes et des opérations addition et produit par un scalaire.

  • est une famille libre grâce à l'unicité de l'écriture du polynôme nul.

Légende :
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S'exercer
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