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Structure d'anneau de K[X]

Un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition internes vérifiant un certain nombre de propriétés. On a déjà vu que est muni d'une addition qui en fait un groupe commutatif. Nous allons définir la deuxième loi interne : le produit de deux polynômes.

Définition : du produit de deux polynômes

Soient

et

deux polynômes à coefficients dans .

Alors est le polynôme avec

,

En particulier .

Propriété : du produit des polynômes

Tous les polynômes considérés dans ces formules sont des éléments de .

Alors le produit des polynômes :

  • est associatif c'est-à-dire que pour tout polynôme , , et on a :

  • est commutatif c'est-à-dire que pour tout polynôme et on a :

  • admet un élément neutre, qui est le polynôme constant égal à 1, puisqu'il vérifie pour tout polynôme P l'égalité :

  • est distributif par rapport à l'addition c'est-à-dire que pour tout polynôme , , et on a :

L'ensemble des propriétés de l'addition et du produit des polynômes conduit au théorème de structure suivant :

Théorème : Structure d'anneau de K[X]

Muni de l'addition et du produit, est un anneau commutatif.

  • Degré du produit de deux polynômes

De la définition du produit de deux polynômes, on déduit immédiatement la propriété suivante

Proposition : Degré du produit de deux polynômes

Soient et deux éléments non nuls de . Alors est non nul et

Il en résulte immédiatement la propriété importante suivante :

Proposition : Intégrité de l'anneau K[X]

L'anneau des polynômes à coefficients dans un corps est intègre, c'est-à-dire que si et sont deux éléments de , implique ou .

Remarque

n'est pas un corps.

Il est simple de montrer, en utilisant des considérations de degré, que les seuls éléments inversibles pour le produit de sont les polynômes constants non nuls.

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