Polynôme formel à coefficients dans K
Définition : Polynôme formel à coefficients dans K
On appelle polynôme formel à coefficients dans K une suite d'éléments de K ayant au plus un nombre fini d'éléments non nuls (on dit aussi que c'est une suite à support fini).
Dire que \(P=(a_k)_{k\in N}\)est un polynôme formel équivaut donc à dire qu'il existe un entier positif ou nul \(n\) tel que pour tout \(k>n\), \(a_k=0\).
L'entier \(n\) n'est pas unique et tout entier supérieur à \(n\) vérifie cette propriété.
Les éléments de la suite sont appelés coefficients du polynôme et un tel polynôme formel est noté \((a_0,a_1,\ldots,a_n,0,0,\ldots)\).
Attention :
l'écriture précédente ne signifie pas que le coefficient \(a_n\) est non nul ; elle ne donne aucun renseignement non plus sur tous les coefficients précédents. Par contre elle indique que tous les suivants sont nuls.
Exemple :
\((1,0,2,0,0,\ldots)\) est un polynôme formel à coefficients dans \(R\). La suite \((2k)_{k\in N}\) n'en n'est pas un.
Les propriétés des applications et les propriétés qui en découlent pour les suites, permettent d'étudier l'ensemble des polynômes formels ainsi construit.
Complément : Condition nécessaire et suffisante d'égalité de deux polynômes formels
Deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux.
Cela résulte immédiatement de la définition de l'égalité de deux applications.