Mathématiques
Précédent
Suivant
Notion d'indéterminée ; notation K[X]

Dans cette partie, est introduite la notion d'indéterminée qui permet, à l'aide des opérations qui viennent d'être étudiées, de retrouver un formalisme plus conforme aux connaissances antérieures.

Définition : de l'indéterminée

Soit le polynôme formel définie par :

, ,

Ce polynôme est appelé l'indéterminée et noté par une grande lettre latine ou ou ou etc.

Dans la suite, l'indéterminée est notée et donc .

Calcul de , avec p entier supérieur ou égal à 1

Une démonstration par récurrence rapide permet de trouver une expression explicite de , pour supérieur ou égal à 1.

  • D'après la définition, avec

    , ,

    Donc on a . Le 1 est à la deuxième place.

  • Supposons que où le 1 est à la - ième place.

    Autrement dit avec

  • Montrons que où le 1 est à la - ième place.

    On a .

    Donc avec : ,

    Or le seul coefficient non nul de la suite est qui est égal à 1.

    Alors, pour tout inférieur ou égal à , le coefficient n'intervient dans aucune des sommes et donc , , .

    Si est supérieur ou égal à , on peut écrire et donc . Or le seul coefficient non nul de la suite est le coefficient qui est égal à 1.

    Donc, si est tel que est différent de 1, est nul.

    Or équivaut à .

    Donc si est supérieur ou égal à , avec , .

    Si , .

    Donc la suite est bien de la forme

    où le 1 est à la - ième place.

Proposition

Calcul de ,

Le polynôme formel est égal à , avec .

Le théorème suivant résulte immédiatement de ce calcul et des définitions de l'addition et du produit par un scalaire dans l'ensemble des polynômes formels.

Théorème : Écriture d'un polynôme formel à l'aide de l'indéterminée

Soit un polynôme formel à coefficients dans . Soit un entier tel que pour tout entier supérieur à , soit nul. Alors peut s'écrire :

L'identification entre le polynôme et le scalaire 1 est utilisée ici.

Remarque

il résulte de la définition de l'égalité de deux polynômes que .

On obtient alors la définition suivante :

Définition

L'ensemble des suites à support fini à coefficients dans est appelé ensemble des polynômes à coefficients dans .

Si l'on note l'indéterminée, cet ensemble est noté .

Cette définition met en évidence l'importance des coefficients, l'indéterminée servant à repérer la place des coefficients dans la suite.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)