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Définition et existence du PPCM de deux polynômes

Nous allons traiter complétement le cas de deux polynômes et nous indiquerons pour chaque propriété si elle se conserve ou pas pour un nombre fini quelconque de polynômes et dans quels termes.

Théorème : Définition du Plus Petit Commun Multiple de deux polynômes

Soient et deux polynômes non tous deux nuls, appartenant à .

Il existe un polynôme tel que :

  • Le polynôme est un multiple des polynômes et .

  • Tout polynôme multiple des polynômes et est un multiple de .

Il existe un seul polynôme unitaire satisfaisant les deux conditions précédentes.

On le note ; c'est le plus petit commun multiple des polynômes et .

Preuve

Le plan de la démonstration de l'existence est le même que pour le PGCD en partant de l'ensemble des multiples communs à et qui est l'intersection de l'ensemble des multiples de et de l'ensemble des multiples de . Donc :

  • On considère l'ensemble noté

  • On démontre que cet ensemble est un idéal de

  • On applique le théorème de caractérisation des idéaux de

  • On vérifie qu'un générateur de l'idéal satisfait aux deux propriétés de l'énoncé du théorème.

    Il est important de noter qu'il résulte de la démonstration de cette caractérisation qu'un tel générateur est un polynôme de admettant pour degré le plus petit des degrés des éléments de .

    On sait aussi que deux générateurs d'un idéal de diffèrent d'une constante multiplicative (ce qui signifie ici que si est un autre polynôme engendrant , il existe tel que ).

  • On en déduit l'existence d'un unique générateur unitaire qui est appelé le PPCM des polynômes et ; on le note

On peut généraliser cette étude au cas de polynômes, avec entier supérieur ou égal à 2.

On a alors le théorème suivant :

Théorème : PPCM de n (>= 2) polynômes

Soient des polynômes non nuls. Alors il existe un polynôme tel que :

  • Le polynôme soit un multiple de chacun des .

  • Tout multiple commun aux polynômes est un multiple de .

Il y a un seul polynôme unitaire satisfaisant les deux propriétés précédentes. On l'appelle le plus petit commun multiple des polynômes et on le note .

Légende :
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S'évaluer
S'exercer
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