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Lien entre PGCD et PPCM

Dans le cas de deux polynômes, on a une relation entre leur PGCD et leur PPCM.

Théorème : La relation

Soient et deux polynômes unitaires.

Alors on a la formule :

Preuve

Soient et deux polynômes unitaires, leur et leur . Alors il existe deux polynômes et , que l'on sait être premiers entre eux, tels que : et .

Considérons le polynôme .

C'est un multiple de ( ) et de ( ). C'est donc un multiple de leur , à savoir .

Donc il existe un polynôme tel que . On en déduit en multipliant cette égalité par que : . Cela prouve que divise .

On va démontrer réciproquement que est un multiple de .

D'après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes et tels que : .

En multipliant cette égalité par , on obtient :

Comme est un multiple de , est un multiple de . De même, comme est un multiple de , est un multiple de .

Donc est un multiple de .

Compte tenu des propriétés des multiples d'un polynôme, il existe un scalaire non nul tel que .

Comme tous les polynômes intervenant dans cette formule sont unitaires, cela donne et le résultat.

Remarque

Il résulte de la fin de la démonstration que si l'on n'avait pas imposé aux polynômes et d'être unitaires, le résultat serait le suivant :

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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