Divisions et divisibilité

Durée : 20 mn

Note maximale : 20

Question

Soit les polynômes :

  • \(A(X) = X^{5} - 3 X^{4} + aX^{3} + aX^{2} - 3X +1 \qquad (a \in \mathbb{R})\)

  • \(B(X) = X^{2} - 2X + 1\)

  • \(C(X) = X-1\)

  1. Trouver le quotient et le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\).

  2. En déduire le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(C\).

  3. En utilisant les questions précédentes,

    a. montrer qu'il existe un unique réel \(a\) tel que \(A\) soit divisible par \(C\),

    b. montrer \(A\) est divisible par \(C\) si et seulement si \(A\) est divisible par \(B\).

Solution

  1. (8 points) En effectuant la division euclidienne de \(A\) par \(B\) on obtient :

    \(\begin{array}{l|l}\begin{array}{rrrrrr}\color{blue} X^{5} & \color{blue} -3 X^{4} & \color{blue} +a X^{3} & \color{blue} +a X^{2} & \color{blue} -3X & \color{blue} +1 \\-X^{5} & +2 X^{4} & -X^{3} & & & \\\hline& \color{blue} -X^{4} & \color{blue} +(a-1)X^{3} & \color{blue} +aX^{2} & \color{blue} -3X & \color{blue} +1 \\& +X^{4} & -2X^{3} & +X^2 & & & & \\ \hline& & \color{blue} +(a-3)X^{3} & \color{blue} +(a+1)X^{2} & \color{blue}-3X & \color{blue}+1 \\& & & \color{blue} +(3a-5)X^{2} & \color{blue}-aX & \color{blue}+1 \\\hline& & & -(3a-5)X^{2} & +(3a-5)X & -(3a-5) \\& & & & \color{red}(5a-10)X & \color{red} +(-3a+6)\end{array}&\begin{array}{rrrr}\color{blue} X^{2} & \color{blue} -2X & &\color{blue} +1 \\\hline\color{red} X^{3} & \color{red} -X^2 & \color{red} +(a-3) & \color{red} +(3a-5) \\ \\\\\\\\\\\\\end{array}\end{array}\)

    Ainsi \(A=BQ_1+R_1\) avec \(\color{red} Q_1(X)=X^3-X^2+(a-2)X+(3a-5), \qquad R_1(X)=(5a-10)X+(-3a+6)\).

  2. (4 points) On remarque que \(X^2-2X+1=(X-1)^2\) donc \(A=C(CQ_1)+R_1\),

    cette égalité n'est pas l'identité de la division euclidienne de \(A\) par \(C\)

    car \(\deg(R_1)=1=deg(C)\) quand \(a\neq 2\).

    On divise \(R_1\) par \(C\) : \(R_1(X)=(5a-10)(X-1)+(2a-4)\).

    Alors \(A=C(CQ_1+5a-10)+(2a-4)\), cette égalité est l'identité de la division euclidienne de \(A\) par \(C\), donc \(\color{red} R_2(X)=2a-4\).

  3. a. (4 points) \(A\) divisible par \(C\Leftrightarrow R_2=0 \Leftrightarrow a=2\) .

    Donc \(2\) est l'unique réel pour lequel \(A\) est divisible par \(C\).

    b. (4 points) \(A\) divisible par \(C\Rightarrow a=2\Rightarrow R_1=0 \Rightarrow A\) divisible par \(B\).

    Réciproquement \(B\) étant divisible par \(C\), si \(A\) est divisible par \(B\) alors, par transitivité de la relation "divisibilité", \(A\) est divisible par \(C\).