Arithmétique dans K[X]

On détermine le PGCD des polynômes \(A\) et \(B\) par le théorème moteur de l'algorithme d'Euclide, utilisant les divisions euclidiennes des polynômes.

On fait la division de \(A\) par \(B\) :

On a obtenu \(A(X)=X^2-X-2)B(X)+X^2+4X-5\).

Donc le PGCD des polynômes \(A(X)\) et \(B(X)\) est égal au PGCD des polynômes \(B(X)\)

et \(X^2+4X-5\).

On fait la division de \(B(X)\) par \(X^2+4X-5\):

On a obtenu \(B(X)=(X-5)(X^2+4X-5)+27X-27\).

Comme \(27X-27=27(X-1)=27(X-1)\), il est préférable de faire ensuite la division euclidienne

de \(X^2+4X-5\)par \(X-1\), puisque \(PGCD(P,Q)=PGCD(P,\lambda Q)\) si \(\lambda\) est un scalaire non nul.

Le PGCD des polynômes \(B(X)\)et \(X^2+4X-5\) est égal au PGCD des polynômes

\(X^2+4X-5\) et \(X-1\).

On fait la division de \(X^2+4X-5\) par \(X-1\).

On remarque que le polynôme \(X^2+4X-5\) est un multiple du polynôme \(X-1\).

Donc le polynôme \(X-1\) est le PGCD de \(X^2+4X-5\) et \(X-1\),

donc aussi celui de \(B(X)\) et \(X^2+4X-5\),

donc aussi celui de \(A(X)\) et \(B(X)\).

\(PGCD(A(X),B(X)=X-1\)

Soit \(D=X-1\). Pour déterminer \(A'\) et \(B'\) tels que \(A=DA'\) et \(B=DB'\), on divise \(A\) et \(B\) par \(D\). On obtient :

et

Donc \(A(X)=(X-1)(X^4-X^3-X+1)\) et \(B(X)=(X-1)(X^2+2)\)

d'où \(A'(X)=X^4-X^3-X+1\)

\(B'(X)=X^2+2\)

Pour calculer le PPCM de A et B, on se sert de la formule (les polynômes A et B étant unitaires) : \(AB=PGCD(A,B)\times PPCM(A,B)\).

On peut calculer explicitement le produit \(AB\), puis diviser le résultat par le PGCD de A et B, mais il est préférable de se servir de la question 2. :

\(A=DA'\) et \(B=DB'\) où \(A'(X)=X^4-X^3-X+1\) et \(B'(X)=X^2+2\).

Comme \(AB=DA'DB'=D\times PPCM(A,B)\), on en déduit que \(PPCM(A,B)=DA'B'\), c'est à dire :

\(\begin{array}{ccc}PPCM(A(X),B(X))&=&(X-1)(X^4-X^3-X+1)(X^2+2)\\&=&X^7-2X^6+3X^5-5X^4+4X^3-3X^2+4X-2\end{array}\)

On pouvait remarquer que : \(PPCM(A,B) = AB' = A'B\), puisque \(A = DA'\) et \(B = DB'\), et l'on pouvait alors calculer un de ces deux produits.