Définition

DéfinitionPolynôme scindé dans un corps K.

Un polynôme \(P\) non nul appartenant à \(K[X]\) est dit scindé dans \(K\) (ou sur \(K\)) si on peut l'écrire sous la forme

\(P(X)=\lambda(X-a_1)^{k_1}(X-a_2)^{k_2}\ldots(X-a_r)^{k_r}\)

\(\lambda\) est le coefficient dominant de \(P\), \(a_1,a_2,\ldots,a_r\) des éléments de \(K\) et \(k_1,k_2,\ldots,k_r\) des éléments de \(N^*\) tels que \(k_1+k_2+\ldots+k_3=n\) avec \(n\) degré de \(P\).

Il est clair que le rôle joué par le corps est très important.

Par exemple, le polynôme \(P(X)=(X-3)^2(X+1)\) est scindé dans \(R\).

Quant au polynôme \(X^2+1\), il n'est pas scindé dans \(R\) mais il l'est dans \(C\).

On a très facilement la propriété suivante :

Proposition

Deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(K[X]\), scindés sur \(K\), sont premiers entre eux si et seulement si ils n'ont aucune racine commune.