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Étude du cas où K est infini
Proposition

Étude de lorsque est infini

Soit un corps infini.

Soit est un polynôme de tel que :

Alors est le polynôme nul.

Cela signifie que l'application est injective

Preuve : Elle est basée sur la remarque précédente et se fait grâce à un raisonnement par l'absurde.

Supposons que le polynôme ne soit pas nul. On peut alors considérer son degré, soit .

Il résulte de ce qui précède que a au plus racines.

Or l'hypothèse faite signifie que tout élément de est racine de . Si est infini, aurait une infinité de racines, d'où la contradiction.

Comme l'application est linéaire, cela signifie que son noyau est réduit à zéro, et donc qu'elle est injective.

Autrement dit, lorsque est infini, l'égalité des fonctions polynômes associées à deux polynômes équivaut à l'égalité des deux polynômes.

  • Conséquence sur les notations

    Cela permet alors de simplifier les notations. La fonction polynôme peut être notée sans aucune ambiguïté.

    C'est en particulier le cas lorsque le corps est égal à ou .

Remarque

Le cas des polynômes à coefficients dans ou dans n'est pas étudié en détail dans cette ressource qui est consacrée aux propriétés générales.

Attention

Cette propriété est fausse si le corps n'est pas fini comme le prouve l'exemple suivant.

Exemple

Soit le corps .

Pourquoi " corps "

On a le résultat général suivant : Soit un entier supérieur ou égal à 2. L'anneau quotient est un corps si et seulement si l'entier est un nombre premier.

Comme 2 est un nombre premier, cela donne le résultat.

Le corps a deux éléments qui sont notés et .

Soit le polynôme de défini par : c'est à dire .

Alors et . Donc : . Donc la fonction polynôme est nulle ce qui n'est évidemment pas le cas du polynôme .

Légende :
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