Préambule
La définition du polynôme dérivé d'un polynôme de \(K[X]\), où \(K\) est un corps quelconque, et les propriétés générales, en particulier celles relatives à la structure d'algèbre de \(K[X]\), sont évidemment valables si \(K\) est le corps des réels ou celui des complexes et sont supposées connues.
Rappel :
Définition et propriétés générales du polynôme dérivé d'un polynôme :
Définition : Polynôme dérivé
Soit \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\) un élément de \(K[X]\) où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 1. On appelle polynôme dérivé de \(P\) le polynôme
\(P'(X)=a_1+2a_2X+3a_3X^2+\ldots+na_nX^{n-1}\)
Si \(P\) est un polynôme constant, son polynôme dérivé est le polynôme nul.
Si \(n\) est supérieur ou égal à 1, on peut aussi écrire \(P'(X)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{k=n}}ka_kX^{k-1}\).
La notation "\(ka_k\) " représente une somme de \(k\) facteurs égaux à \(a_k\).
Exemple :
Soit le polynôme \(P(X)=X^4-2X+1\). Alors \(P'(X)=4X^3-2\)
Les règles de calcul sont " naturelles " et découlent simplement des propriétés des opérations sur \(K[X]\), autrement dit de la structure algébrique de \(K[X]\).
Propriété : de la dérivation des polynômes relativement à la structure de K[X]
Pour tous polynômes \(P\) et \(Q\) de \(K[X]\) et tout scalaire \(\alpha\), on a :
i. \((P+Q)'=P'+Q'\)
ii. \((\alpha P)'=\alpha P'\)
iii. \((PQ)'=P'Q+PQ'\)
Dérivées successives d'un polynôme
On définit par récurrence la dérivée \(k\)-ième d'un polynôme.
Définition : de la dérivée k - ième d'un polynôme, où k est un entier positif
On définit \(P^{(0)}\) de la manière suivante :
\(P^{(0)}=P\)
Par récurrence, pour \(k\) supérieur ou égal à 1, on définit \(P^{(k)}\) de la manière suivante :
\(P^{(k)}=[P^{(k-1)}] '\)
Nous allons développer les propriétés qui ne peuvent pas être données dans le cas général.