Préambule

La définition du polynôme dérivé d'un polynôme de , où est un corps quelconque, et les propriétés générales, en particulier celles relatives à la structure d'algèbre de , sont évidemment valables si est le corps des réels ou celui des complexes et sont supposées connues.

Rappel

Définition et propriétés générales du polynôme dérivé d'un polynôme :

Définition : Polynôme dérivé

Soit un élément de est un entier supérieur ou égal à 1. On appelle polynôme dérivé de le polynôme

Si est un polynôme constant, son polynôme dérivé est le polynôme nul.

Si est supérieur ou égal à 1, on peut aussi écrire .

La notation " " représente une somme de facteurs égaux à .

Exemple

Soit le polynôme . Alors

Les règles de calcul sont " naturelles " et découlent simplement des propriétés des opérations sur , autrement dit de la structure algébrique de .

Propriété : de la dérivation des polynômes relativement à la structure de K[X]

Pour tous polynômes et de et tout scalaire , on a :

  • i.

  • ii.

  • iii.

Dérivées successives d'un polynôme

On définit par récurrence la dérivée -ième d'un polynôme.

Définition : de la dérivée k - ième d'un polynôme, où k est un entier positif

On définit de la manière suivante :

Par récurrence, pour supérieur ou égal à 1, on définit de la manière suivante :

Nous allons développer les propriétés qui ne peuvent pas être données dans le cas général.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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