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Fonction polynôme et racines d'un polynôme
Le test comporte 3 questions :
Racines cubiques de l'unité
Polynômes à coefficients dans Z
Calcul des puissances d'une matrice carrée
La durée indicative du test est de 60 minutes.
Commencer
Racines cubiques de l'unité
  1. Décomposer le polynôme en produit de facteurs irréductibles dans puis dans .

  2. Soit et deux polynômes de tels que le polynôme divise le polynôme .

    Montrer que .

    (Notation : On note et les polynômes obtenus en substituant à dans les polynômes et . Et on note et les fonctions polynômes associées à et dans , puisque est infini.)

Polynômes à coefficients dans Z
  1. On considère dans le polynôme de degré :

    les , , étant des entiers relatifs, et étant non nuls.

    Montrer que si admet une racine rationnelle, mise sous la forme irréductible ( , ), alors divise et divise .

  2. Soit .

    Trouver les racines de dans , sachant qu'il admet deux racines rationnelles.

Calcul des puissances d'une matrice carrée
  1. Soit un polynôme à coefficients complexes, et soient et deux nombres complexes distincts.

    Déterminer en fonction de et de le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme .

  2. Application :

    Quel est le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme .

  3. On considère la matrice réelle .

    Vérifier que ( étant la matrice unité d'ordre 2).

    En déduire le calcul de .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Racines cubiques de l'unité
  1. (3 points)

    Il est immédiat que le polynôme admet 1 comme racine. En le divisant par , on obtient .

    Le polynôme n'a pas de racine réelle, il est donc irréductible sur , et il admet dans les racines et . Donc

    dans :

    dans :

  2. (7 points)

    Comme le polynôme est divisible par le polynôme , il existe un polynôme de tel que

    .

    On considère alors les fonctions polynômes associées aux polynômes précédents dans , et leurs valeurs en puis en , on obtient :

    Or et sont racines de et de .

    On a donc , , , .

    D'où et .

    On en déduit , d'où et donc .

0
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Polynômes à coefficients dans Z
  1. (5 points)

    Le rationnel étant racine de , on a , donc .

    En réduisant au même dénominateur on peut écrire :

    De ceci on tire l'égalité :

    Donc divise .

    Or la fraction étant irréductible, l'entier est premier avec donc aussi avec , donc il divise .

    De même on a l'égalité :

    et par un même argument on en déduit que p divise .

  2. (5 points)

    Le polynôme est à coefficients dans . D'après la question précédente, on cherche ses racines rationnelles sous la forme avec divise 1 et divise 2.

    Donc les racines appartiennent à l'ensemble

    On calcule les images de ces points par la fonction polynôme A.

    On trouve

    Le polynôme admet donc -1 et comme racines, il est donc divisible par et , donc aussi par leur produit puisque ces deux polynômes sont premiers entre eux.

    En divisant par ce produit, on a l'égalité suivante :

    Les racines dans de sont

    Donc la décomposition de en polynômes irréductibles est donc :

    et les racines de A dans . sont : .

0
1
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Calcul des puissances d'une matrice carrée
  1. (6 points)

    Le polynôme étant de degré 2, le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme est nul ou de degré inférieur ou égal à 1,

    donc il peut s'écrire , où et sont des complexes.

    Il existe donc un polynôme tel que .

    On considère la fonction polynôme associée à dans (notée encore puisque est infini), et sa valeur aux points et . On obtient :

    Donc c et d sont solutions des systèmes équivalents suivants :

    D'où

    Donc le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme est le polynôme est le polynôme :

  2. (4 points)

    On considère , il est immédiat que est racine de

    et que

    Donc on applique le résultat précédent au polynôme et aux réels et

    Le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme est le polynôme :

  3. Soit

    (2 points) On calcule On trouve ,

    d'où

    On considère l'application qui au polynôme de associe la matrice

    Cette application transforme les sommes de polynômes en sommes de matrices et les produits de polynômes en produits de matrices, en conservant les règles de calcul.

    Or d'après la question précédente il existe un polynôme

    tel que .

    donc on obtient :

    (8 points)

    Comme , on en déduit que

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/40
Seuil critique :28
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :60 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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