1. Décomposer le polynôme en produit de facteurs irréductibles dans puis dans .

2. Soit et deux polynômes de tels que le polynôme divise le polynôme .

   Montrer que .

   (Notation : On note et les polynômes obtenus en substituant à dans les polynômes et . Et on note et les fonctions polynômes associées à et dans , puisque est infini.)

1. On considère dans le polynôme de degré :

   les , , étant des entiers relatifs, et étant non nuls.

   Montrer que si admet une racine rationnelle, mise sous la forme irréductible ( , ), alors divise et divise .

2. Soit .

   Trouver les racines de dans , sachant qu'il admet deux racines rationnelles.

1. Soit un polynôme à coefficients complexes, et soient et deux nombres complexes distincts.

   Déterminer en fonction de et de le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme .

2. Application :

   Quel est le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme .

3. On considère la matrice réelle .

   Vérifier que ( étant la matrice unité d'ordre 2).

   En déduire le calcul de .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

1. (3 points)

   Il est immédiat que le polynôme admet 1 comme racine. En le divisant par , on obtient .

   Le polynôme n'a pas de racine réelle, il est donc irréductible sur , et il admet dans les racines et . Donc

   dans :

   dans :

2. (7 points)

   Comme le polynôme est divisible par le polynôme , il existe un polynôme de tel que

   .

   On considère alors les fonctions polynômes associées aux polynômes précédents dans , et leurs valeurs en puis en , on obtient :

   

   

   Or et sont racines de et de .

   On a donc , , , .

   D'où et .

   On en déduit , d'où et donc .

1. (5 points)

   Le rationnel étant racine de , on a , donc .

   En réduisant au même dénominateur on peut écrire :

   

   De ceci on tire l'égalité :

   Donc divise .

   Or la fraction étant irréductible, l'entier est premier avec donc aussi avec , donc il divise .

   De même on a l'égalité :

   et par un même argument on en déduit que p divise .

2. (5 points)

   Le polynôme est à coefficients dans . D'après la question précédente, on cherche ses racines rationnelles sous la forme avec divise 1 et divise 2.

   Donc les racines appartiennent à l'ensemble

   On calcule les images de ces points par la fonction polynôme A.

   On trouve

   Le polynôme admet donc -1 et comme racines, il est donc divisible par et , donc aussi par leur produit puisque ces deux polynômes sont premiers entre eux.

   En divisant par ce produit, on a l'égalité suivante :

   

   Les racines dans de sont

   Donc la décomposition de en polynômes irréductibles est donc :

   

   et les racines de A dans . sont : .

1. (6 points)

   Le polynôme étant de degré 2, le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme est nul ou de degré inférieur ou égal à 1,

   donc il peut s'écrire , où et sont des complexes.

   Il existe donc un polynôme tel que .

   On considère la fonction polynôme associée à dans (notée encore puisque est infini), et sa valeur aux points et . On obtient :

   Donc c et d sont solutions des systèmes équivalents suivants :

   

   D'où

   Donc le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme est le polynôme est le polynôme :

   

2. (4 points)

   On considère , il est immédiat que est racine de

   et que

   Donc on applique le résultat précédent au polynôme et aux réels et

   Le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme est le polynôme :

   

3. Soit

   (2 points) On calcule On trouve ,

   d'où

   On considère l'application qui au polynôme de associe la matrice

   Cette application transforme les sommes de polynômes en sommes de matrices et les produits de polynômes en produits de matrices, en conservant les règles de calcul.

   Or d'après la question précédente il existe un polynôme

   tel que .

   donc on obtient :

   (8 points)

   Comme , on en déduit que