Racines cubiques de l'unité

Durée : 15 mn

Note maximale : 10

Question

  1. Décomposer le polynôme \(X^3-1\) en produit de facteurs irréductibles dans \(R[X]\) puis dans \(C[X]\).

  2. Soit \(P(X)\) et \(Q(X)\) deux polynômes de \(C[X]\) tels que le polynôme \(X^2+X+1\) divise le polynôme \(P(X^3)+XQ(X^3)\).

    Montrer que \(P(1)=Q(1)=0\).

    (Notation : On note \(P(X^3)\) et \(Q(X^3)\) les polynômes obtenus en substituant \(X^3\) à \(X\) dans les polynômes \(P(X)\) et \(Q(X)\). Et on note \(P\) et \(Q\) les fonctions polynômes associées à \(P\) et \(Q\) dans \(C\), puisque \(C\) est infini.)

Solution

  1. (3 points)

    Il est immédiat que le polynôme \(X^3-1\) admet 1 comme racine. En le divisant par \(X-1\), on obtient \(X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)\).

    Le polynôme \(X^2+X+1\) n'a pas de racine réelle, il est donc irréductible sur \(R\), et il admet dans \(C\) les racines \(j=-\frac 12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(j^2=-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\). Donc

    dans \(R[X]\) : \(X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)\)

    dans \(C[X]\): \(X^3-1=(X-1)(X-j)(X-j^2)\)

  2. (7 points)

    Comme le polynôme \(P(X^3)+XQ(X^3)\) est divisible par le polynôme \(X^2+X+1\), il existe un polynôme \(T\) de \(C[X]\) tel que

    \(P(X^3)+XQ(X^3)=(X^2+X+1)T(X)\).

    On considère alors les fonctions polynômes associées aux polynômes précédents dans \(C\), et leurs valeurs en \(j\) puis en \(j^2\), on obtient :

    \(P(j^3)+jQ(j^3)=(j^2+j+1)T(j)\)

    \(P(j^6)+j^2Q(j^6)=(j^4+j^2+1)T(j^2)\)

    Or \(j\) et \(j^2\) sont racines de \(X^3-1\) et de \(X^2+X+1\).

    On a donc \(j^3=1\), \(j^6=1\),\(j^2+j+1=0\) , \(j^4+j^2+1=0\).

    D'où \(P(1)+jQ(1)=0\) et \(P(1)+j^2Q(1)=0\).

    On en déduit \((j-j^2)Q(1)=0\), d'où \(Q(1)=0\) et donc \(P(1)=0\).